В случае если математические предложения имеют отношение к действительности, они неточны, и наоборот, если они точные, они не имеют отношения к действительности.
Альберт Эйнштейн на лекции, прочитанной 27 января 1921 года
Аргумент кажется убедительным, но он не окончательный. Доказательство непротиворечивости аксиом Пеано основывается на нашей интуиции о том, что эти аксиомы являются истинными высказываниями. Но не ошибается ли наша интуиция? Она ведь подвела, например, Фреге, который в течение нескольких лет был убежден в непротиворечивости своих аксиом, пока Бертран Рассел не открыл, что одна из них противоречит самой себе. Возможно, когда-то в будущем новый Рассел покажет нам парадокс, следующий из аксиом Пеано, и скажет, что они все-таки противоречивы.
Следовательно, мы не можем хвастаться своим превосходством над компьютерами, поскольку никогда не будем уверенными в том, что наши семантические рассуждения верны. Нам нужно свыкнуться с возможностью того, что в будущем все (или почти все) наши рассуждения окажутся неверными.
Дискуссия, начатая с открытия парадокса Рассела, так и не закончилась. Три предположения, которые были сделаны в начале XX века, — интуиционизм, логицизм и формализм (или программа Гильберта) — провалились по разным причинам и не были заменены другой программой аналогичного уровня. Какова природа математических объектов? Существует ли промежуточный уровень между чисто синтаксическими и семантическими рассуждениями, который позволил бы превзойти неполноту теорем Гёделя, в то же время обеспечив непротиворечивость? Действительно ли существует категорическая разница между синтаксическим и семантическим? Или понятия, которые мы называем семантическими, являются всего лишь более сложными синтаксическими понятиями (в которых работают с группами символов вместо индивидуальных символов)? Существует еще много подобных вопросов, ответы на которые не найдены... к счастью.
Bell, Е.Т., Los grandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.
Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza Editorial, 2007.
Godel, K., Sobrepropositions formalmente indetidibles de los Principia Mathematica у sistemas afines, Oviedo, KRK Ediciones, 2006.
Hofstadter, D., Godel, Eschery Bach (Un etemo у grdcil bucle), Barcelona, Tusquets, 1992.
Kline, M., Matemdticas, la perdida de la incertidumbre, Mexico D.F., Siglo Veintiuno Editores, 1998.
Martinez, G., Pineiro, G., Godel V (para todos), Barcelona, Destino, 2010.
Martinon, A. (compilador), Las matemdticas del siglo xx (Una mirada en 101 articulos), Madrid, Nivola, 2000.
Nagel, E., Newman, J., El teorema de Godel, Madrid, Tecnos, 1994.
Odifreddi, P., La matemdtica del siglo xx: de los conjuntos a la complejidad, Buenos Aires, Katz Editores, 2006.
Smullyan, R,,Juegos por siempre misteriosos, Barcelona, Gedisa, 1988.
Stewart, I., Historia de las matemdticas, Madrid, Critica, 2008.
Аристотель 18-21, 37, 65
арифметика 22, 33, 35, 44-48, 51, 54, 58, 60, 62, 63, 64, 69, 73, 76-78, 81, 83, 84, 107, 108, 110, 112, 115-117, 155-157, 160
Архимед 24
бесконечность
актуальная 19-24, 28, 29, 31, 35, 37, 43, 44
потенциальная 19, 20, 22, 25, 28
Борель, Эмиль 10, 11
Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян 37, 38, 40, 47, 48, 56
Вена 13, 17, 18, 41, 53-57, 67, 90, 92-94, 96, 121, 126, 148
Венский кружок 13, 56-57, 67, 93, 121
Вселенная 21, 101, 124, 126, 127, 156, 157, 158
вращающаяся 123-128
Гёделя 124
Галилей, Галилео 21-23, 29, 37
Гаусс, Иоганн Карл Фридрих 23
Гейне, Эдуард 25, 28
Гейтинг, Аренд 48, 96
Герон Александрийский 45
Гёте, Иоганн Вольфганг фон 54
теория цвета 53, 54
Гиббсовская лекция 13, 149-155
Гильберт, Давид проблемы 7, 8, 42, 45, 46, 56, 65, 128, 137
программа 43-49, 51, 56-58, 61, 64, 65, 68, 74, 84, 87, 96-99, 106-108, 115, 150, 155, 156, 159, 161, 162
гипотеза континуум 43, 128, 136-138, 141, 151, 152
Римана 8
Гольдбах, Кристиан 108
Гольдбаха гипотеза 8, 9, 10, 108
Гудстейна теорема 80, 81
Джинс, Джеймс Хопвуд 126, 127, 140
диагональная функция 78, 79, 110
доказательство семантическое 157, 159, 160
синтаксическое 97, 99, 101, 103, 104, 107, 109-111, 113, 115, 139
единственность 26, 28, 137
разложения на простые числа 28
интуиционизм 36-43, 47, 48, 150, 161
Кантор, Георг 23-25, 28-32, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 128, 130-132, 136, 137, 141, 151, 152
Кантора диагональный метод 132-136
код 70-74, 76-82, 109, 110, 111, 113, 114, 116, 117
концептография 32
Коэн, Пол Джозеф 43, 137, 138, 141.152
Кронекер, Леопольд 25, 30, 31, 38
логицизм 36-43, 48, 161
множество 29, 30, 33, 34, 36, 46, 51, 58, 60, 65, 66, 73, 84, 85, 89-91, 99, 101, 103-106, 108, 109, 112, 113, 115-118, 128, 130-132, 134, 136-138, 141, 154-156, 159
бесконечное 28, 29, 128, 130— 32, 154
кардинальное число 128-134, 136, 138, 141
конечное 128, 130
теория 29, 30, 31, 33, 40, 41, 43, 44, 81, 127, 138, 141, 151, 152, 154
множество аксиом 46, 58,60,65, 66,73,89,90,101,103-106, 108,109,112,113,115-118, 155,156,159