Статуя Евклида в Музее естественной истории Оксфордского университета.
1... 1
2... 4
3... 9
4... 16
5... 25
Каждое число первой последовательности точно соответствовало бы другому числу второй, при этом не было бы ни недостатка, ни избытка ни с одной из сторон. Если можно идеально установить пары, это означает, что существует столько же квадратных чисел, сколько и чисел всего, а это противоречит сказанному: часть была бы равна целому, а не меньше его. Актуальная бесконечность, заключил Галилей, это абсурд.
Почти через 250 лет немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) столкнулся с той же самой проблемой, но его вывод был абсолютно противоположным. Кантор решил, что аристотелевский принцип omne totum est mains sua parte — «целое больше его частей» — нужно отбросить, когда речь идет о бесконечности.
Третий пример — отрывок из письма 1831 года немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855):
«Я протестую против употребления бесконечной величины как чего-то завершенного, что в математике никогда недопустимо. Бесконечность не нужно понимать буквально, когда речь идет собственно о пределе, к которому сколь угодно близко приближаются определенные отношения, когда другие принимаются неограниченно возрастающими».
Гаусс говорил, что бесконечность — это только величина (всегда конечная), которой позволено расти без ограничений, и ее нельзя понимать как нечто завершенное. Снова мы наблюдаем отказ от актуальной бесконечности.
Это только три примера из многих, о которых можно было бы упомянуть. Однако всего через 40 лет после этого письма Георг Кантор вынужден был ввести в математику и философию монстра, много раз отвергнутого, — актуальную бесконечность.
Сочинение Архимеда «Послание к Эратосфену о методе», или «Метод механических теорем», считалось утерянным в веках.
По различным упоминаниям было известно, что в нем описывались физические рассуждения, которые позволили предположить геометрические теоремы, затем доказанные со всей логической строгостью в других книгах автора. Однако точное содержание работы не было известно до 1906 года, когда, к всеобщему удивлению, совершенно случайно в Стамбуле была обнаружена ее копия.
Это был палимпсест, то есть рукопись, нанесенная на пергамент поверх другого текста.
К счастью, первоначальный слой стерли не полностью, и оригинальную работу частично удалось восстановить. Процесс возобновился в начале XXI века, когда группе экспертов, располагающих современными приборами для освещения и анализа изображений, удалось продвинуться в восстановлении «Метода...». Часть их открытий означает, что Архимед работал с актуальной бесконечностью. Эта история рассказана в детективе Ревьеля Нетца и Уильяма Ноэля «Кодекс Архимеда». Согласно полученным данным, чтобы сравнить объем двух тел, Архимед представлял их разрезанными на бесконечное количество полосок бесконечно малой ширины и делал вывод о том, что оба тела равны, если можно установить пары между полосками, образующими эти тела. Это предполагает не только работу с актуальной бесконечностью, но и допущение сравнения между двумя бесконечностями посредством установления пар между их компонентами, что сделал Кантор в конце XIX века. Если эти открытия подтвердятся, придется переписать часть истории бесконечности и признать, что Архимед ранее Кантора использовал актуальную бесконечность.
Архимед. Работа Жана Гужона. Фасад Лувра, Париж.
С 1867 по 1869 год Кантор в Берлине проводил свои первые исследования под руководством Леопольда Кронекера (спустя несколько лет они стали врагами). В то время Берлин был одним из самых мощных математических центров в мире (наряду с Геттингеном и Парижем). Первые исследовательские работы Кантора не слишком впечатлили его преподавателей, которые даже считали, что он никогда не станет выдающимся математиком. В 1870 году Кантору пришлось переехать из центра науки, Берлина, на периферию. Молодой и неизвестный ученый начал собственные исследования в Галльском университете.