Отметим, что сопоставление с образцом в let и where выражениях является ленивым. Функцию lazyHead
мы могли бы написать и так:
lazyHead a = x
where (x:xs) = a
lazyHead a =
let (x:xs) = a
in
x
Посмотрим как используются ленивые образцы при построении потоков, или бесконечных списков. Мы
будем представлять функции одного аргумента потоками значений с одинаковым шагом. Так мы будем пред-
ставлять непрерывные функции дискретными сигналами. Считаем, что шаг дискретизации (или шаг между
соседними точками) нам известен.
f : R → R ⇒ fn = f ( nτ ) ,
n = 0 , 1 , 2 , ...
Где τ – шаг дискретизации, а n пробегает все натуральные числа. Определим функцию решения диффе-
ренциальных уравнений вида:
dx = f( t)
dt
x(0) = ˆ
x
Символ ˆ x означает начальное значение функции x. Перейдём к дискретным сигналам:
xn−xn− 1 = f
τ
n,
x 0 = ˆ
x
Где τ – шаг дискретизации, а x и f – это потоки чисел, индекс n пробегает от нуля до бесконечности
по всем точкам функции, превращённой в дискретный сигнал. Такой метод приближения дифференциаль-
ных уравнений называют методом Эйлера. Теперь мы можем выразить следующий элемент сигнала через
предыдущий.
xn = xn− 1 + τ fn, x 0 = ˆ
x
Закодируем это уравнение:
-- шаг дискретизации
dt :: Fractional a => a
dt = 1e-3
-- метод Эйлера
int :: Fractional a => a -> [a] -> [a]
int x0 (f:fs) = x0 : int (x0 + dt * f) fs
Смотрите в функции int мы принимаем начальное значение x0 и поток всех значений функции пра-
вой части уравнения, поток значений функции f( t). Мы помещаем начальное значение в первый элемент
результата, а остальные значения получаем рекурсивно.
Определим две вспомогательные функции:
time :: Fractional a => [a]
time = [0, dt .. ]
dist :: Fractional a => Int -> [a] -> [a] -> a
dist n a b = ( / fromIntegral n) $
foldl’ (+) 0 $ take n $ map abs $ zipWith (-) a b
Функция time пробегает все значения отсчётов шага дискретизации по времени. Это тождественная функ-
ция представленная в виде потока с шагом dt.
Функция проверки результата dist принимает два потока и по ним считает расстояние между ними. Эта
функция говорит, что расстояние между двумя потоками в n первых точках равно сумме модулей разности
между значениями потоков. Для того чтобы оценить среднее расхождение, мы делим в конце результат на
число точек.
Также импортируем для удобства символьный синоним для fmap из модуля Control.Applicative.
Ленивее некуда | 189
import Control.Applicative((<$> ))
...
Проверим функцию int. Для этого сохраним все новые функции в модуле Stream. hs. Загрузим модуль
в интерпретатор и вычислим производную какой-нибудь функции. Найдём решение для правой части кон-
станты и проверим, что у нас получилась тождественная функция:
*Stream> dist 1000 time $ int 0 $ repeat 1
7.37188088351104e-17
Функции практически совпадают, порядок ошибки составляет 10 − 16. Так и должно быть для линейных
функций. Посмотрим, что будет если в правой части уравнения стоит тождественная функция:
*Stream> dist 1000 ((\t -> t^2/2) <$> time) $ int 0 time
2.497500000001403e-4
Решение этого уравнения равно функции t 2 . Здесь мы видим, что результаты уже не такие хорошие.
2
Есть функции, которые определяются рекурсивно в терминах дифференциальных уравнений, например
экспонента будет решением такого уравнения:
dx = x
dt
∫ t
x( t) = x(0) +
x( τ ) dτ
0
Опишем это уравнение в Haskelclass="underline"
e = int 1 e
Наше описание копирует исходное математическое определение. Добавим это уравнение в модуль Stream
и проверим результаты:
*Stream> dist 1000 (map exp time) e
^CInterrupted.
К сожалению вычисление зависло. Нажмём ctrl+c и разберёмся почему. Для этого распишем вычисление