помощью композиции функций, тождественная стрелка, это тождественная функция.
• В категории Hask объектами являются типы Haskell, а стрелками – функции, стрелки соединяются с
помощью композиции функций, тождественная стрелка, это тождественная функция.
• Ориентированный граф может определять категорию. Объекты – это вершины, а стрелки это связанные
пути в графе. Соединение стрелок – это соединение путей, а тождественная стрелка, это путь в котором
нет ни одного ребра.
228 | Глава 15: Теория категорий
• Упорядоченное множество, в котором есть операция сравнения на больше либо равно задаёт катего-
рию. Объекты – это объекты множества. А стрелки это пары объектов таких, что первый объект меньше
второго. Первый объект в паре считается начальным, а второй конечным.
( a, b) : a → b
если a ≤ b
Стрелки соединяются так:
( a, b) ; ( b, c) = ( a, c)
Тождественная стрелка состоит из двух одинаковых объектов:
ida = ( a, a)
Можно убедиться в том, что это действительно категория. Для этого необходимо проверить аксиомы
ассоциативности и тождества. Важно проверить, что те стрелки, которые получаются в результате ком-
позиции, не нарушали бы основного свойства данной структуры, то есть тот факт, что второй элемент
пары всегда больше либо равен первого элемента пары.
Отметим, что бывают такие области, в которых стрелки или преобразования с одинаковыми именами
могут соединять несколько разных объектов. Например в Haskell есть классы, поэтому функции с одними
и теми же именами могут соединять разные объекты. Если все условия категории для объектов и стрелок
выполнены, кроме этого, то такую систему называют прекатегорией (pre-category). Из любой прекатегории
не сложно сделать категорию, если включить имена объектов в имя стрелки. Тогда у каждой стрелки будут
только одна пара объектов, которые она соединяет.
15.2 Функтор
Вспомним определение класса Functor:
class Functor f where
fmap :: (a -> b) -> (f a -> f b)
В этом определении участвуют тип f и метод fmap. Можно сказать, что тип f переводит произвольные
типы a в специальные типы f a. В этом смысле тип f является функцией, которая определена на типах. Метод
fmap переводит функции общего типа a -> b в специальные функции f a -> f b.
При этом должны выполняться свойства:
fmap id
= id
fmap (f . g) = fmap f . fmap g
Теперь вспомним о категории Hask. В этой категории объектами являются типы, а стрелками функции.
Функтор f отображает объекты и стрелки категории Hask в объекты и стрелки f Hask. При этом оказывается,
что за счёт свойств функтора f Hask образует категорию.
• Объекты – это типы f a.
• Стрелки – это функции fmap f.
• Композиция стрелок это просто композиция функций.
• Тождественная стрелка это fmap id.
Проверим аксиомы:
fmap f . fmap id = fmap f . id = fmap f
fmap id . fmap f = id . fmap f = fmap f
fmap f . (fmap g . fmap h)
=
fmap f . fmap (g . h)
=
fmap (f . (g . h))
=
fmap ((f . g) . h)
=
fmap (f . g) . fmap h
=
(fmap f . fmap g) . fmap h
Функтор | 229
Видно, что аксиомы выполнены, так функтор f порождает категорию f Hask. Интересно, что поскольку
Hask содержит все типы, то она содержит и типы f Hask. Получается, что мы построили категорию внутри
категории. Это можно пояснить на примере списков. Тип [] погружает любой тип в список, а функцию для
любого типа можно превратить в функцию, которая работает на списках с помощью метода fmap. При этом с
помощью класса Functor мы проецируем все типы и все функции в мир списков [a]. Но сам этот мир списков
содержится в категории Hask.
С помощью функторов мы строим внутри одной категории другую категорию, при этом внутренняя ка-
тегория обладает некоторой структурой. Так если раньше у нас были только произвольные типы a и произ-
вольные функции a -> b, то теперь все объекты имеют тип [a] и все функции имеют тип [a] -> [b]. Также и
функтор Maybe переводит произвольное значение, в значение, которое обладает определённой структурой. В