v = a ∙ Восток + b ∙ Север + c ∙ Верх + d ∙ Будущее
Здесь a, b, c, d – вещественные числа, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Определим теперь еще один вектор w, используя другой набор вещественных чисел A, B, C, D:
w = A ∙ Восток + B ∙ Север + C ∙ Верх + D ∙ Будущее
Для умножения v и w мы можем воспользоваться правилами обычной алгебры, принимая во внимание порядок сомножителей:
v × w =
= (a ∙ Восток + b ∙ Север + c ∙ Верх + d ∙ Будущее)× (A ∙ Восток + B ∙ Север + C ∙ Верх + D ∙ Будущее) =
×
= aA∙ Восток × Восток + aB∙ Восток × Север +
+ aC∙ Восток × Верх + aD∙ Восток × Будущее +
+ bA∙ Север × Восток + bB∙ Север × Север +
+ bC∙ Север × Верх + bD∙ Север × Будущее +
+ cA∙ Верх × Восток + cB∙ Верх × Север +
+ cC∙ Верх × Верх + cD∙ Верх × Будущее +
+ dA∙ Будущее × Восток + dB∙ Будущее × Север +
+ dC∙ Будущее × Верх + dD∙ Будущее × Будущее =
= (aD + bC – cB + dA) ∙ Восток +
+ (–aC + bD + cA + dB) ∙ Север +
+ (aB – bA + cD + dC) ∙ Верх +
+ (–aA — bB – cC + dD) ∙ Будущее
Длину вектора можно определить с помощью четырехмерного аналога теоремы Пифагора. Для обозначения длины вектора v мы будем использовать запись |v|. Через компоненты четырех главных направлений она выражается следующим образом:
|v|2 = a2 + b2 + c2 + d2
При умножении двух векторов длина их произведения совпадает с произведением длин сомножителей:
|v × w| = |v||w|
Для заданного вектора v часто полезным оказывается понятие сопряженного вектора, который мы будем обозначать v* и определять как вектор, компоненты которого по трем пространственным направлениям противоположны соответствующим компонентам v, а временная компонента совпадает с временной компонентой v:
v* = – a ∙ Восток – b ∙ Север – c ∙ Верх + d ∙ Будущее
Умножение исходного вектора на сопряженный к нему дает очень простой результат:
v × v* = (a2 + b2 + c2 + d2) ∙ Будущее = |v|2 ∙ Будущее
Поскольку Будущее в этой числовой системе играет роль единицы, то для вектора v единичной длины сопряженный вектор v* будет совпадать с обратным v-1. Если же длина вектора v отлична от единицы, то обратный вектор также можно выразить через сопряженный, разделив последний на квадрат длины:
v-1 = v* / |v|2
В силу этой тесной взаимосвязи между сопряженным и обратным векторами нетрудно увидеть, что при вычислении сопряженного произведения их порядок нужно поменять на противоположный так же, как и в случае с делением:
(v × w)* = w*× v*
Спроецировав на направление Будущее произведение вектора v и сопряженного вектора w*, можно получить полезную информацию о геометрических свойствах векторов v и w:
Проекция v × w* на Будущее = aA + bB + cC + dD = |v||w| cos (угол между v и w)
Величина, стоящая в правой части первого равенства, и представляющая собой сумму произведений четырех компонент (a, b, c, d) вектора v на соответствующие компоненты (A, B, C, D) вектора w, называется скалярным произведением векторов v и w. Как показывает второе равенство, скалярное произведение зависит только от длина векторов и угла между ними.
Любой поворот четырехмерного пространства можно описать парой фиксированных векторов g и h, причем для осуществления поворота заданный вектор нужно умножить слева на g, а затем поделить справа на h. Иначе говоря, поворот вектора выражается так:
v → g × v / h
Так, поворот, меняющий местами Север и Юг, а также Будущее и Прошлое, оставляя неизменными все векторы, перпендикулярные этой четверке, можно описать с помощью пары g = Юг, h = Север. Как доказать, что эта операция действительно является поворотом? Во-первых, она, как легко убедиться, не меняет длину вектора v, поскольку |g| = |h| = |h-1| = 1 и
|g × v / h| = |g||v||h-1| = |v|
Кроме того, мы можем выяснить, как та же самая операция, примененная к двум векторам, влияет на угол между ними, применив ее к v × w*:
v → g × v / h
w → g × w / h
v × w* → (g × v / h) × (g × w / h)* =
= g × v × h-1 × (g × w × h-1)* =
= g × v × h-1 × h × w* × g-1 =
= g × (v × w*) × g-1
Поскольку g × Будущее/ g = Будущее, то эта операция не меняет проекцию на вектор Будущее. А так как данная проекция определяет угол между v и w – вместе с их длинами, которые, как нам уже известно, остаются неизменными, – то неизменным остается и этот угол.
Все повороты, ограниченные тремя пространственными измерениями, можно описать как частный случай исходной формулы, положив в ней h = g:
v → g × v / g
Например, повороту на 1800 в горизонтальной (Север-Восток) плоскости соответствует g = Верх.
Два других особых случая вращения достигаются при h = Будущее, то есть умножении слева на g:
v → g × v
и g = Будущее, при котором поворот сводится к делению на h:
v → v / h
Обе операции всегда осуществляют поворот сразу в двух ортогональных плоскостях – причем на один и тот же угол. Например, при умножении слева на Восток происходит поворот на 900 как в плоскости Будущее-Восток, так и в плоскости Север-Верх.
Рассмотрим поворот, который описывается величинами g и h, преобразующими векторы в соответствии со стандартной формулой:
v → g × v / h
Существуют еще две разновидности геометрических объектов, которые описываются с помощью кватернионов, но при этом не являются векторами, поскольку при том же самом повороте подчиняются другим правилам преобразования:
l → g × l
r → h × r
Эти любопытные объекты называются «спинорами»: l – «левым», а r – «правым». В нашем мире математика спиноров не так проста, как в случае Ортогональной Вселенной, но обе математические системы, тем не менее, довольно похожи, а спиноры и в той, и в другой Вселенной играют ключевую роль при описании поведения некоторых фундаментальных частиц в процессе поворота.