Гильберт бросил вызов и выиграл у тех, кто настаивал, будто математические доказательства должны базироваться на методе, рассматривающем сущности, наличие которых нужно доказать. Он доказал, что предположение о ложности гипотезы Гордана («существует базис инвариантов») ведет к противоречию. Этого было достаточно. Много лет спустя Гильберт объяснял своим студентам разницу между конструктивными доказательствами и теми, которые таковыми не являются (экзистенциальными), подчеркивая, что в аудитории есть кто-то, у кого на голове волос меньше, чем у других (никто из присутствующих не был абсолютно лысым), хотя мы не располагаем никаким способом выявить этого человека.
Это не математика! Это теология!
Гордан после ознакомления с доказательством Гильберта
На кон было поставлено не только будущее теории инвариантов (область исследования, которую Гильберт практически закрыл), но и нечто большее — противостояние двух подходов к математике: конструктивного — характерного для XIX века — и экзистенциального, свойственного XX столетию (когда слово «существовать» имело лишь одно значение: быть лишенным противоречия). Экзистенциальный подход Гильберта в дальнейшем обеспечил ему многие победы и многие споры.
Наконец, в 1892 году усилия Гильберта увенчались успехом, и он получил должность ординарного профессора Кёнигсбергского университета. Несмотря на то что в итоге он стал блестящим преподавателем, в начале его лекции едва привлекали студентов.
СОВРЕМЕННАЯ АЛГЕБРА И NULLSTELLENSATZ
Вавилоняне, египтяне и греки решали уравнения первой и второй степени, используя различные алгебраические техники. Следы греческой геометрической алгебры заметны по выражениям вроде «квадрат» и «куб» для второй и третьей степеней: «а в квадрате» — это квадрат со стороной а, а «а в кубе» — это куб с ребром а. Введение нового символьного аппарата (Диофант, Аль-Хорезми, Виет) определило настоящий прорыв в развитии алгебры и ее последующее отделение.
В эпоху Возрождения Тарталья (по- итальянски «заика») вывел формулу для решения уравнений третьей степени, но предпочел держать ее в секрете. Астролог и математик Джероламо Кардано убедил его открыть ее и затем опубликовал, выдавав за свою. Лодовико Феррари, бывший секретарь Кардано, получил другую формулу для решения уравнений четвертой степени, однако решение в радикалах полиномиального уравнения пятой степени им не далось. Через 300 лет Абель доказал, что это невозможно.
Гаусс в возрасте 52 лет. Литография из журнала «Астрономические новости», 1828 год.
Гаусс и основная теорема алгебры
Чтобы больше узнать о рождении современной алгебры, следует обратиться к докторской диссертации Гаусса, которую тот защитил в 1797 году. Гениальный Гаусс доказал то, что сегодня известно как основная теорема алгебры: любое полиномиальное уравнение степени п имеет ровно п решений среди комплексных чисел. Хотя этот результат допускал Декарт (различая действительные и мнимые корни), а также со множеством ошибок доказал Д’Аламбер, только доказательство Гаусса было исчерпывающим. Его работа радикально изменила облик алгебры. Именно этот долгий путь Гильберта сквозь теорию инвариантов определил Nullstellensatz, или теорему о нулях, — мощный результат, обобщивший основную теорему алгебры для того случая, когда вместо уравнения имеется система алгебраических уравнений.
Гильберт не впадал в отчаяние и расценивал этот период как процесс медленного, но стабильного созревания. Тогда же он женился на Кёте Ерош (его любимой партнерше по танцам), с которой был знаком с детства. Через год родился их единственный сын Франц, у которого еще в детстве проявилось серьезное умственное заболевание. Когда у юноши диагностировали шизофрению, отец поместил его в лечебницу для душевнобольных, где тот провел значительную часть своей жизни. С тех пор Гильберт держался так, будто у него никогда не было сына.
В 1895 году он кардинально изменил свою жизнь. В конфиденциальном письме его уведомили о назначении — по рекомендации Клейна — профессором престижного Гёттингенского университета, где до того работали два таких колосса математики, как Гаусс и Риман. Его не пришлось упрашивать, он переехал и никогда не покидал Гёттинген.
Между тем с теории инвариантов Гильберт уже переключился на теорию чисел — типично немецкую дисциплину с тех пор, как Гаусс опубликовал «Арифметические исследования» (1801) и назвал ее царицей математики. Немецкое математическое общество (основанное в 1890 году под председательством Георга Кантора (1845-1918)) поручило Гильберту и Минковскому разработать отчет о состоянии вопроса. Минковский сразу отказался, сославшись на занятость, зато Гильберт сделал намного больше, чем от него ожидали. Результатом была жемчужина математической литературы, ставшая в дальнейшем классикой в этой области знания, — Der Zahlbericht («Отчет о числах»), датированная 10 апреля 1897 года. В этой работе Гильберт объединил все имеющиеся данные, организовав их с новой точки зрения, переписал формулировки и доказательства. Он не только перераспределил детали головоломки, которую представляла собой алгебраическая теория чисел, но и заполнил лакуны оригинальными исследованиями. В предисловии к отчету он писал:
«Теория чисел — это здание редкой красоты и гармонии. [...] Целью данного отчета является описание с единой точки зрения результатов теории чисел с ее доказательствами, с ее логическим развитием, что должно приблизить тот день, когда достижения классиков в области теории чисел станут общим достоянием всех математиков».
ПЕРВАЯ НАУЧНАЯ РЕВОЛЮЦИЯ
Древние вавилонская и египетская цивилизации имели значительные знания в области геометрии. Но их, если можно так выразиться, «математика» не вышла за пределы технической стадии, основываясь на сборниках инструкций для решения повседневных проблем, которые были связаны с трудом землемеров и в которых едва прослеживалось понятие доказательства. Геометрические теоремы Фалеса Милетского (ок. 624 — ок. 546 до н.э.) заставили бы улыбнуться египетских землемеров ввиду их простоты и бесполезности («Диаметр делит круг на две равные части»). Однако мы говорим о первых теоремах, которые являются истинными спустя более чем 2000 лет. Фалесу удалось измерить высоту пирамиды Хеопса с использованием простого правила пропорциональности.
Пифагору также удалось установить логическую связь с наследием вавилонян и египтян. Под руководством Платона Афинская академия систематизировала пифагорейскую математику, особенно заметен вклад Теэтета (ок. 417 — ок. 369 до н.э.) и Евдокса (ок. 390 — ок. 337 до н.э.). Первому приписывают теорему, гласящую, что существует только пять правильных многогранников, пять Платоновых тел. Тогда же геометров того времени завораживали три классические проблемы: трисекция угла, квадратура круга и удвоение куба. Перейдя из Афинской академии в Александрийский мусейон, мы встретились бы с Евклидом, работа которого (наряду с работой Аполлония и Архимеда) завершает золотую эпоху греческой геометрии.
Идеализированный портрет Евклида. Юстус ван Гент, 1474 год.
«Отчет о числах» перенес Гильберта в авангард европейской математики. Конечно, анализируя его раннюю математическую деятельность, можно подумать, будто это отличный исследователь, но в узкой сфере знаний. Почти невозможно было предвидеть дальнейшее восхождение Гильберта на вершину математического Олимпа и общую убежденность в том, что, как и Пуанкаре, он является одним из последних математиков-универсалов, ориентирующихся во всех областях науки, включая его следующее завоевание — геометрию. Но чтобы показать вклад Гильберта в этой области, нужно вспомнить об исторической подоплеке, о том толчке, который XIX век обеспечил геометрии, о том, как открытие неевклидовых геометрий изменило аксиоматический метод.