Волшебный двурог

— А почему он вспоминает Платона?

— Потому что Платон тоже занимался математикой и очень ценил ее. Из его сочинений извлечено теперь много данных о древней науке[29]. Полагают, например, что он дал определение понятию геометрического места. Добавлю, кстати, что кубическая парабола — немаловажная в технике кривая. Например, когда строители железных дорог рассчитывают поворот пути так, чтобы поезд на большой скорости плавно повернул по рельсам, то это закругление нужно рассчитывать именно по кубической параболе.

— 379 —

— Мне еще хочется узнать про максимумы, — попросил Илюша. — Это очень трудно — их определить?

— Да нет, — отвечал Радикс, — не так уж трудно. Давай возьмем пример. Допустим, имеется прямоугольник. Какие надо взять стороны у прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей, если сумма этих двух сторон равна восемнадцати?

— Плохо я что-то понимаю эту задачу! — заметил Илюша.

— Ты слушай, — отвечал Радикс, — и постепенно уразумеешь. Начнем вот с чего. Пусть наши стороны-множители будут а и b, а их сумма будет с, то есть

а + b = с.

Теперь возьмем квадраты их суммы и разности и вычтем один из другого:

(а + b)² = а² + 2ab + b²
—
(а — b)² = а² — 2ab + b²
------------------------------
(a + b)² — (a — b)² = 4ab

Так как (а + b) равно с, то мы можем написать:

с² — (a — b)² = 4ab,

или так еще:

ab — c²/4 — (а — b)² / 4

Отсюда ясно, что поскольку с есть величина постоянная, то произведение ab изменяется только в зависимости от изменения разности (а — b), но так как квадрат этой разности с минусом, то ясно, что это произведение тем больше, чем меньше абсолютная величина разности (а — b). Следовательно, произведение двух чисел тогда достигает максимума, когда абсолютная величина их разности достигнет минимума. Тебе это ясно?

— Как будто ясно.

— Ну, поехали дальше! Давай назовем игреком искомое произведение. А части его — одна будет икс, а другая…

— А другая будет восемнадцать минус икс, — подсказал Илюша.

— Верно. Следовательно, игрек будет записан так:

y = x (18 — x)

— 380 —

Теперь возьмем разность наших множителей. Назовем ее игрек со штрихом, то есть игрек-штрих:

y′ = x — (18 — x)

Так как мы хотим, чтобы этот игрек-штрих стал минимальным, то поищем, чему должен равняться икс, если игрек-штрих станет нулем. И напишем:

х — (18 — х) = 0;

х — 18 + х = 0;

2х = 18;

х = 9.

Произведение достигает максимума, когда одна его часть равна девяти, а следовательно, и другая тоже равна девяти. Другими словами, максимальную площадь из всех прямоугольников с одинаковым периметром имеет квадрат. Составим табличку. В третьей графе ее стоит не самая разность, а ее абсолютная величина. Дальше девяти табличку продолжать не стоит: все будет симметрично повторяться в обратном порядке.

x			18 — x		x — (18 — x)		x (18 — x)
1			17		16		17
2			16		14		32
3			15		12		45
4			14		10		56
5			13		8		65
6			12		6		72
7			11		4		77
8			10		2		80
9			9		0		81

29

В книге Ван-дер-Вардена «Пробуждающаяся наука» в главе VI «Век Платона» много интересного.