Глава 2.
История теории игр.
Математическая теория игр берёт своё начало из неоклассической* экономики. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 г. Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение».
Оптимальные решения или стратегии в математическом моделировании предлагались еще в XVIII в. Задачи производства и ценообразования в условиях олигополии*, которые стали позже хрестоматийными*, являются примерами теории игр. Они рассматривались в XIX в. А. Круно и Ж. Бертраном.
Вначале XX в. Э. Ласкер (2-й чемпион мира по шахматам), Э. Цермело и Э. Борель выдвигают идею математической теории конфликта интересов. В 1906 Ласкер выпустил брошюру «Борьба» (Kampf), в которой предложил своё видение теории игр, распространив её на различные сферы человеческой деятельности, в частности экономику
Американский математик Джон Форбс Нэш в 1949 г. Написал диссертацию по теории игр, а через 45 лет получил Нобелевскую премию по экономике. На нем стоит остановиться поподробнее.
Дж. Нэш после окончания Политехнического института Карнеги с двумя дипломами – бакалавра и магистра – поступил в Принстонский университет, где посещал лекции Джона фон Неймана. Первые концепции теории игр анализировали антагонистические* игры, когда есть проигравшие и выигравшие за счет них игроки. Нэш разрабатывает методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или терпят поражение. Эти ситуации получили названия «равновесие по Нэшу», или «некооперативное равновесие».
Равновесие по Нэшу.
Равновесие Нэша (равновесие по Нэшу) - одно из ключевых понятий теории игр.
Так называется набор стратегий в игре для двух или более игроков, в котором ни один из участников не может увеличить выигрыш, изменив свою стратегию, если другие участники своих стратегий не меняют. Говоря простым языком, это ситуация, где если бы все участники узнали бы о стратегиях других и о том, что они их не изменят, то не могли бы под них подстроиться, изменив свою стратегию.
Примером для понимания будет игра «камень, ножницы, бумага».
Давайте подумаем о том, что нам как-то необходимо максимизировать выигрыш в этой игре. Хм, ну и какую же стратегию избрать? С одной стороны, мы можем попробовать предположить, что покажет соперник, исходя из его характера, ума, звезд на небе и других сомнительных фактов. Понятное дело, что, например, если мы убеждены, что соперник по каким-то причинам хочет показать камень, то, как ни странно, он тоже может это понять и специально показать ножницы. И как же поступить? Вопрос не очевидный и имеет странный на первый взгляд ответ.
Чтобы его найти, давайте подумаем об этой игре с точки зрения равновесия Нэша. Например, если мой соперник будет знать, что я покажу точно ножницы, то ему ничего не мешает специально показать камень, даже если изначально он хотел бумагу. Хм, так, получается, здесь нет равновесия по Нэшу?
На самом деле есть. Что для него нужно? Должна быть такая стратегия, что если бы соперник ее узнал, то ему не было бы смысла менять свою. Но ведь что бы мы ни выбрали из камня, ножниц и бумаги, он изменит свою стратегию, чтобы выиграть, так как у нас все игроки рациональны и хотят победить. Тогда стоит избрать стратегию «подбросить монетку». По сути, выбрать случайно. Монетка не очень подойдет, но если просто взять игральный шестигранный кубик, то на выпадение 1 и 2 можно избрать ножницы, на 3 и 4 бумага, а на 5 и 6 камень.
Тогда если соперник узнает, что мы избрали такую стратегию, ему будет без разницы, что показывать, так как мы буквально случайно выбираем, что показать.
В таком случае сопернику тоже выгоднее всего бросать кубик, так как, опять же, какую он бы не выбрал стратегию кроме равновероятного показывания бумаги, камня и ножниц, мы сможем изменить свою стратегию и увеличить шансы на победу. Тогда равновесием по Нэшу в этой игре будет набор стратегий, при которых игроки равновероятно выбирают камень, бумагу или ножницы.
Получается, при этой игре можно всегда выбирать эту стратегию, и соперник ничего не сможет изменить. Так как мы случайно выбираем, что показать с равной вероятностью, то, как бы не действовал соперник, его шанс на победу будет 1/3. У нас такой же шанс на победу, и еще шанс 1/3 на ничью.
Теперь немного о применении этих знаний.
В 2005 году крупный японский производитель электроники (Maspro Denkoh Corporation) не мог определить, какому аукционному дому передать право продажи коллекции картин со стартовой ценой в 20 миллионов долларов.