Итак, мы использовали и и таким образом убедились, что фокус действительно работает, но при условии, что перед тем, как мы начинаем сбрасывать карты, их в колоде минимум 16 и максимум 31. Численное моделирование — это создание моделей вычислительных процессов с целью их изучения. Здесь мы прибегли к моделированию, чтобы посмотреть, всегда ли получается фокус, но подобным образом можно провести и обобщение. Наша модель показывает принцип, лежащий в основе фокуса. Главное в нем — не игральные карты. Мы абстрагировались от них, как и от многих других деталей. Выявив этот базовый принцип, мы можем придумать другие варианты фокуса, основанные на нем. Мы еще вернемся к этому позже.
Перфокарты
Наш фокус имеет с вычислительными алгоритмами связь более глубокую, чем то, что и фокус, и программы являются алгоритмами. Вариант алгоритма фокуса применялся в ранних компьютерах для поиска по данным, записанным на перфокарты. Перфокарты — это физически существующие карты, которые использовали в качестве долгосрочной памяти, чтобы хранить данные для последующей обработки.
Информацию записывали на перфокарты, пробивая в них отверстия в соответствии с кодом, немного похожим на шпионский шифр. В то время как у шпионов бывают в ходу таинственные символы, для компьютеров применялся код из отверстий и их отсутствия. В отличие от шпионского кода, в компьютерном коде значения символов должны быть известны всем заинтересованным лицам. Специальный код, который до сих пор используют в компьютерах для простых чисел, называется
На рис. 8 приведен пример перфокарты для числа 22. Чтобы увидеть, как использовать перфокарты для поиска данных с помощью магического принципа «шиворот-навыворот», давайте сделаем их сами, а потом посмотрим, как они действуют.
Шаблоны для перфокарт можно скачать здесь: www.cs4fn.org/punchcards/.
Распечатайте их — в идеале прямо на тонком картоне — и слегка посыпьте тальком, чтобы они не склеивались (это важно).
Вместо отверстий и их отсутствия мы будем использовать в нашем коде отверстия и небольшие вырезы. Вам следует сделать вырезы в нужных местах, чтобы в сумме получилось число, крупно написанное на карте. Например, на карте 22 есть вырезы напротив 16, 4 и 2, а 16 + 4 + 2 = 22. Чтобы понять происходящее, нужно знать кое-что из простой математики, а именно двоичную систему счисления.
Две системы
Двоичный код — это способ записывать числа, при котором в нашем распоряжении 0 и 1 вместо 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, которыми мы обычно пользуемся. Наша обычная система называется десятичной. В двоичной системе всего два символа, и на перфокартах мы будем использовать круглые отверстия для 0 и щели для 1. Двоичная и десятичная системы — просто две разные системы представления чисел. Выбрать правильное информации — еще один важный элемент вычислительного мышления.
Давайте сначала рассмотрим десятичную систему и сравним ее с двоичной. В десятичной системе, чтобы досчитать до 9, мы используем цифры, но они заканчиваются, и в этот момент мы переходим в новый столбик. Мы возвращаемся к 0, но переносим 1 в следующий столбик, и 1 теперь обозначает 10, как показано на рис. 9.
Любая цифра во втором столбике обозначает на 10 больше, чем та же цифра в первом столбике. В десятичной системе 16 — это один десяток (1 в столбике десятков) и шесть единиц (6 в столбике единиц). Мы добавляем 10 к 6, чтобы получить число 16. Подобным образом, 987 обозначает 9 раз по 100, 8 раз по 10 и 7 раз по одному, сложенные вместе.
Двоичная система работает точно так же, только у нас раньше заканчиваются цифры. Дойдя до 1, мы уже переходим в новый столбик, до 9 нам не добраться (рис. 10). Это значит, что столбцы теперь предназначены для единиц, двоек, четверок, восьмерок и так далее — вместо единиц, десятков и сотен. То есть в двоичной системе (используя только 1 и 0) мы записываем, например, число 5 как 101. Это 1 в разряде четверок плюс 0 в разряде двоек и плюс 1 в разряде единиц.