Иначе говоря, мы каждый раз определяли квадрат ошибки прогнозирования (т. е. квадрат разности между истинным и предсказанным значениями координаты кривой), а затем подсчитывали среднее значение этой величины за все время работы нашего прибора, которое и старались минимизировать.
При этом мы смогли сформулировать задачу прогнозирования как некоторую задачу о нахождении минимума, т. е. придать ей определенную математическую форму, зависящую, разумеется, от предположений о свойствах статистической совокупности кривых, которые нам придется экстраполировать. Область математики, посвященная решению задачи о нахождении минимума величин, зависящих от вида некоторых кривых, известна под названием вариационного исчисления и представляет собой специальную математическую дисциплину, имеющую многочисленные применения. В наиболее обычных случаях задачи вариационного исчисления сводятся к некоторым дифференциальным уравнениям, определяющим функции или кривые, удовлетворяющие требуемым условиям минимума; однако в ряде случаев (с одним из которых как раз нам и пришлось встретиться) они приводят к родственным, уравнениям другого типа, называемым в математике интегральными.
К счастью, я уже занимался теорией интегральных уравнений и раньше, но еще более удачным оказалось то, что уравнения, к которым привело нас решение задачи прогнозирования, представляли собой лишь немного более общий случай уравнений, ранее изученных Эберхардом Хопфом и мною. Таким образом, я смог не только поставить задачу прогнозирования, но и решить ее. В довершение всех удач полученное решение было по форме довольно простым. Оказалось, что решение, найденное нами на бумаге, нетрудно воплотить в конкретный прибор; для этого нужно было только собрать несложную схему из индуктивностей, емкостей и сопротивлений и подключить ее к небольшому электродвигателю того типа, который можно купить у любой фирмы, выпускающей измерительные приборы.
Мы построили прибор, преобразовывавший высоту движущейся точки в электрическое напряжение. Затем мы пропускали это изменяющееся во времени напряжение через совокупность сопротивлений, конденсаторов и катушек с магнитными сердечниками. В другой точке системы мы снимали напряжение и непрерывно измеряли его вольтметром. Конкретный тип вольтметра, использовавшегося нами, позволял строить непрерывный график изменения напряжения. Эта запись использовалась в качестве выходного сигнала и служила для прогнозирования значения напряжения на некоторый интервал времени вперед.
Следующая задача, которой я занялся, состояла в прогнозировании на основании неточных данных о прошлом. Эта задача также сводилась к задаче на нахождение минимума, причем здесь уже нам надо было располагать не только статистикой самих упреждаемых кривых, но и статистикой ошибок в определении прошлых координат этих кривых. После этого рассматриваемая задача о нахождении минимума свелась к другому уравнению Винера — Хопфа, решаемому при помощи тех же методов. Таким образом, и здесь удалось построить вполне удовлетворительную математическую теорию.
В науке часто недостаточно решить какую-нибудь задачу или группу задач. После этого нужно присмотреться к этим задачам и заново осмыслить, какие же задачи вы решили. Нередко, решая одну задачу, мы автоматически находим ответ и на другой вопрос, о котором раньше вовсе не думали.
Именно так обстояло дело с новой теорией прогнозирования. Оказалось, что в теории прогнозирования будущих значений полезного сигнала, наблюдаемого в смеси с шумами, на основе данных о статистических характеристиках полезного сигнала и шума содержится также и основная идея нового подхода к задаче о таком разделении полезных сигналов и шумов, которое можно было бы считать наилучшим.
Мы обнаружили это в самое подходящее время, когда только что появившаяся новая техника радиолокации встретилась с серьезными трудностями. При использовании радиолокаторов было крайне важно уметь обнаруживать слабые сигналы на фоне маскирующего сигнал шума. Для инженера-электрика шум — это отнюдь не только те звуки, которые можно услышать, но и любое нежелательное электрическое возмущение. Например, шумом являются мерцание и мелькание изображения в плохо настроенном телевизоре. Шумами называются и все те сигналы, которые проходят через радиолокационную систему и вместо того, чтобы уточнять характер полезного сигнала, лишь искажают его.