Идея, которую Ли и я хотели осуществить, состояла в том, чтобы, следуя Бушу, построить аналоговую счетную машину, работающую с высокой скоростью, характерной для электрических цепей, а не с гораздо меньшей скоростью, только и возможной при использовании вращающихся валов и других механических устройств. В принципе, этого вполне можно было достигнуть, и впоследствии другие исследователи сумели осуществить нашу идею. Нам же не хватило ясного понимания своеобразных проблем, возникающих при конструировании приборов, в которых движение на выходе передается обратно на вход и таким образом воздействует на дальнейшую работу прибора. Приборы такого типа в настоящее время хорошо известны как приборы с обратной связью.
Механизм обратной связи использовался уже Бушем в его счетных устройствах. Однако этот механизм сам по себе далеко не безобиден. Слишком сильная обратная связь неизбежно приводит к колебаниям всего прибора, которые невозможно успокоить. В случае сравнительно слабой обратной связи, используемой в механических интеграторах системы Буша, эту трудность легко преодолеть, но в применении к чисто электрическим устройствам, в которых обратная связь играет гораздо большую роль, проблема устойчивости оказывается куда более серьезной. Для того чтобы с ней справиться, мне следовало бы начать с самых основ и постараться построить последовательную полную теорию обратной связи. В то время я этого не сделал, и поэтому мы так и не добились успеха.
Основным моим делом, однако, было чтение лекций по обобщенному гармоническому анализу и по вопросам, которые излагались в книге, вышедшей под именем Пейли и моим. Одновременно я погрузился в новую область чисто математических исследований, связанных с так называемыми квазианалитическими функциями.
За последние полтора столетия математический анализ, выросший из дифференциального и интегрального исчисления, расщепился на два основных направления. Одно из них, называемое теорией функций комплексного переменного, представляет собой продолжение исследований XVIII века, касающихся «степенных рядов», т. е. сумм взятых с некоторыми коэффициентами величин 1, x, x2 и т. д., где х — переменная величина. Эта теория специально приспособлена для изучения величин, изменяющихся очень плавно. Было время, когда предполагалось, что плавным является изменение всех вообще величин, с которыми только может иметь дело математика. Но уже в конце XVIII столетия при создании гармонического анализа, возникшего из изучения механических систем, совершающих колебания, выяснилось, что кривые, составленные из кусков, никак не подогнанных друг к другу, также могут рассматриваться в математическом анализе. Эта точка зрения привела сперва к общей теории рядов Фурье, а затем к еще более общему направлению исследований, известному теперь как теория функций действительного переменного.
Таким образом, теория функций действительного переменного и теория функций комплексного переменного представляют собой две отдельные, хотя и связанные друг с другом математические дисциплины, которые не являются одна развитием другой в том смысле, в каком материал лекций, читаемых на втором курсе университета, является развитием материала, излагаемого на первом курсе, но отражают принципиально отличный подход к вопросу о природе математических величин и о характере возможной зависимости одной величины от другой. Разумеется, за полтораста лет развития эти дисциплины как-то влияли друг на друга. Однако только недавно математики выяснили, что имеется некоторая промежуточная область исследований, в которой могут быть использованы методы обеих указанных дисциплин. А именно, существуют, оказывается, кривые, достаточно гладкие для того, чтобы любая часть такой кривой определяла уже весь ее дальнейший ход, но в то же время недостаточно гладкие для того, чтобы к ним можно было применить классическую теорию функций комплексного переменного. Изучение таких кривых и составляет содержание того, что сейчас называется теорией квазианалитических функций. Наибольшие заслуги в этой области принадлежат французским математикам и, в частности, Солему Мандельбройту — автору ряда прекрасных работ о квазианалитических функциях. Некоторые относящиеся сюда результаты имелись также в нашей с Пейли книге; дальнейшим их развитием я и занимался во время моего пребывания в Китае.
Я рассчитывал, что вскоре смогу встретиться с Мандельбройтом, например, на научном конгрессе, который должен был состояться в Осло в 1936 году. Когда я услышал, что Адамар, шеф Мандельбройта, тоже собирается приехать в университет Цинь-Хуа, я обрадовался еще и потому, что надеялся с его помощью договориться о встрече с Мандельбройтом во Франции по пути на конгресс.