Из этих разнообразных примеров мы заключаем, что но следует искать в пирамидах свидетельств необычайных познаний, наличие которых стремились доказать Жомар и его последователи. Жомар писал: «Из пропорций, бросающихся в глаза в этих памятниках, можно узнать законы, на основании которых их воздвигли; и поскольку они являются плодом египетской науки, то должны включать в себя ее элементы…» Однако анализ, приведенный выше, совершенно точно доказывает простоту этих законов и их элементов. Нам представляется, таким образом, весьма необдуманным допускать вместе с некоторыми другими, что пирамида Хеопса могла быть преднамеренным символическим выражением окружности, рассматриваемой как наиболее простая, совершенная фигура. Мы равным образом не верим и тому, что будто бы взятый Хефреном для определения угла наклона «священный треугольник» подтверждает намерение зодчего превратить эту пирамиду в его символическое выражение. Один из защитников данного положения вынужден был, однако, с этой точки зрения признать некоторый регресс после пирамиды Хеопса, каковую он расценивает как «шедевр их метода транспозиции», вплоть до пирамиды Микерина, по отношению к которой он задается вопросом: «Не остановился ли на этом уже достаточно усталый ум?!»278. Сравнительное рассмотрение значений углов наклона различных пирамид, наоборот, доказывает заметный прогресс вплоть до правления Микерина, при котором был взят угол наклона, определявший для граней и апофемы исключительно простые отношения.
Не кажется ли поэтому, что геометрия египтян предназначена лишь для удовлетворения технических и практических потребностей? Она разумно использует как некоторые прямоугольные треугольники, так и священный треугольник и определяет те стороны прямого угла, которые находятся между собой в таком же отношении, как два целых последовательных числа, например, 2 и 3, 4 и 5, 8 и 9, 9 и 10 и т. д., или же составляют простые отношения, как 1 и 4, 7 и 5, 11 и 14 и т. д.
Другие арифметические или геометрические отношения выражены в планировке внутренних помещений Великой пирамиды. Так, камера, названная усыпальницей фараона, в плане имеет 10 × 20 локтей, высота же ее превышает 11 локтей на 9 см и составляет, следовательно, 11,172 локтя. Однако мы убеждаемся, что эта величина, не содержащая целого числа локтей, была, очевидно, получена в результате измерения диагоналей восточной и западной стен камеры, имеющих по 15 локтей. Мы получаем, таким образом, для каждой из этих диагоналей прямоугольный треугольник, основание которого, образованное меньшей стеной усыпальницы, было равно 2, гипотенуза — 3 и высота — √5 = 2,236; а 2,236 × 5 = 11,18, т. е. высоте с точностью примерно до 1/100 локтя279. Кроме того, длина в 15 локтей, выбранная для диагонали стены, влечет за собой наличие «священного треугольника» со сторонами, соответственно равными 3, 4 и 5, образованного в проходящей через эту диагональ плоскости продольного сеченпя камеры; подобное отношение мы получаем для диагоналей параллелепипеда этой камеры, равных 25 локтям.
Ф. Петри, основываясь на том, что один из трех размеров усыпальницы фараона не составлял целого числа локтей, счел возможным высказать предположение, что при определении размеров различных камер пирамиды (усыпальницы фараона, камеры царицы, подземных камер, передней), строители придерживались якобы правила, чтобы квадраты размеров этих камер равнялись целым числам квадратных локтей (это так называемая теория площадей). Приведенные нами выше более простые объяснения показывают, что не было никакой необходимости добиваться столь сложного решения для определения высоты усыпальницы фараона. Что же касается остальных камер, частью незаконченных, то обосновывать свои заключения на их размерах, особенно по их высоте, не имело смысла, поскольку вымостка плиточного пола не была завершена. «Передняя» же, как мы уже видели, никогда не служила камерой, а предназначалась лишь для размещения подъемных плит, преграждающих переход, и управления ими; поэтому определять ее размеры было совершенно бесполезно.
Вместе с тем многие отмечают, что вымостка пола усыпальницы фараона была якобы помещена на уровне, на котором площадь горизонтального сечения равнялась половине площади основания, а диагональ угла — одной из сторон основания. Из этих двух отношений, из которых одно является функцией другого, совершенно очевидно, что замысел строителей нашел свое отражение в соотношении площадей. Но египтяне, опытные геодезисты, безусловно знали, что площадь квадрата, построенного на диагонали, равна удвоенной площади первого квадрата. Используя данное правило, они легко определили уровень расположения погребальной камеры. Однако отсюда не следует, что из указанного свойства диагонали квадрата, являющегося лишь частным случаем для гипотенузы произвольного прямоугольного треугольника, египтяне сумели вывести основное отношение, получившее свое выражение лишь двадцать два века спустя после Хеопса в знаменитой теореме Пифагора.
В эпоху сооружения больших пирамид геометрия, таким образом, не выходила из стадии интуитивного и утилитарного эмпиризма. Жрецы-зодчие, поставленные перед трудными техническими задачами, изыскивают все более совершенные методы их разрешения; ум, все еще направленный на решение практических вопросов, не был способен целиком отдаться чисто отвлеченным исследованиям. Так были выработаны методы расчетов и построений, ссылки на которые встречаются в более поздних документах, как, например, в Папирусе Ринд или в Московском папирусе, относящихся к Среднему царству. Однако А. Рей280 спрашивает по поводу этих еще эмпирических текстов следом за Питом, так педантично опубликовавшим Папирус Ринд: «Не существовала ли геометрия более сокровенная, чем та, следы которой здесь имеются и позволяют иногда предполагать существование некоторых более остроумных решений, чем дошедшие до нас? Мы обнаружили бы тогда в сохранившихся папирусах лишь несколько полезных данных для тех, кому предстояло ими пользоваться».
Хотя до настоящего времени и не найдено никаких египетских математических документов сокровенного характера, все же, если верить грекам, известно, что египетские жрецы тщательно скрывали свои математические секреты. Аристотель указывает на то, что жрецы изучали математические науки, Диодор, как мы уже отмечали, сообщает об их влиянии на открытия и учение Пифагора и Демокрита, с гордостью провозглашавшего, что никто еще не опередил его в построении фигур при помощи линий и доказательстве их свойств, прибавляя при этом: «Даже египетские harpedonaptes281!»
Следовательно, вполне можно допустить, что египетские геометры действительно обладали обширными знаниями, тщательно собираемыми и секретно хранимыми в храмах, знаниями, полученными благодаря неусыпным наблюдениям в течение многих веков, отделяющих эпоху сооружения первых пирамид, т. е. около 2900 г. до н. э., от эпохи пробуждения математического мышления греков, т. е. начала VI в. до н. э. Что же касается, в частности, геометрии, то изучение таких сооружений, как знаменитая Великая пирамида, должно было занимать значительное место в исследованиях этих жрецов, и вполне понятно, что они сумели обнаружить в этих памятниках, без сомнения гораздо позже их сооружения, общие свойства, о которых не подозревали их строители.
Таким образом на протяжении трех тысячелетий своей древней истории Египет подготовил путь для открытий греческих ученых, накапливая постепенно сокровищницу знаний, из которой греческие ученые могли широко черпать необходимые сведения. Но все же нельзя отрицать, что лишь благодаря философски настроенному мышлению греков геометрия стала подлинной наукой.
278
М. A. Texier,
280
A. Rey,
281
Термин, который этот автор принял для обозначения египетских геометров, обычно переводится как «натягивающие веревку».