На пути развития этой математики должен был наконец наступить момент, когда не только границы искусственных геометрических построений, но и границы зрения вообще должны были восприниматься – как теорией, так и самой душой в ее порыве к безудержному выражению собственных внутренних возможностей – как предел, как помеха и когда, таким образом, идеал трансцендентной протяженности вступил в принципиальное противоречие с ограниченными возможностями непосредственной видимости. Античная душа, со всей самоотдачей платонической и стоической ἀθαραξία допускавшая значимость и господство чувственного начала, – эта душа, скорее воспринимавшая, нежели навязывавшая свои великие символы, как видно из подспудного эротического смысла пифагорейских чисел, никогда не испытывала желания перешагнуть пределы также и телесных здесь и теперь. Однако если пифагорейское число открылось в сущности данных единичных вещей в природе, то число Декарта и математиков, следовавших за ним, было чем-то таким, что следовало завоевать и вырвать силой, властным абстрактным отношением, независимым от всей чувственной данности и постоянно готовым к тому, чтобы заявить об этой своей независимости перед лицом природы. Воля к власти (если прибегнуть к великой формуле Ницше), которая является характерной чертой северной души в ее отношении к собственному миру начиная с наиболее ранней готики «Эдды», соборов и Крестовых походов, да собственно с завоевателей викингов и готов, заложена также и в этой энергии западного числа по отношению к созерцанию. Это и есть «динамика». В аполлонической математике дух служит зрению, в фаустовской – он его преодолевает.
Само математическое, такое неантичное, «абсолютное» пространство (в своем благоговении перед греческими традициями математика не отважилась это заметить) с самого начала было не неопределенной пространственностью повседневных впечатлений, общепринятой живописи, якобы столь однозначного и определенного априорного созерцания Канта, но чистой абстракцией, идеальным и неисполнимым постулатом души, которая все меньше удовлетворялась чувственностью как средством выражения и в конце концов страстно от нее отвратилась. Пробудилось внутреннее зрение.
Лишь теперь глубокие мыслители должны были почувствовать, что евклидова геометрия, единственная правильная геометрия для наивного наблюдателя во все времена, будучи рассмотрена с этой высшей точки зрения, оказывается всего только гипотезой, чья исключительная значимость в сравнении с другими, также совершенно не наглядными видами геометрий, как мы это определенно знаем со времен Гаусса, никогда не может быть доказана. Фундаментальное положение этой геометрии, аксиома Евклида о параллельных линиях, является утверждением, которое может быть заменено другими, а именно что через данную точку вообще нельзя провести прямую, параллельную данной, либо что таких прямых две или множество. Все это утверждения, приводящие к совершенно непротиворечивым трехмерным геометрическим системам, которые можно применять в физике и астрономии, и иногда их следует предпочитать геометрии Евклида.