Рис. 2. Кажется невероятным, что криволинейный путь, соединяющий на морской карте Йокогаму с Панамским каналом, короче прямой линии, проведенной между теми же точками
Моряки пользуются картами, начерченными по способу старинного голландского картографа и математика XVI в. Меркатора. Способ этот называется «меркаторской проекцией». Узнать морскую карту легко по ее прямоугольной сетке: меридианы изображены на ней в виде ряда параллельных прямых линий; круги широты — тоже прямыми линиями, перпендикулярными к первым (см. рис. 5).
Вообразите теперь, что требуется найти кратчайший путь от одного океанского порта до другого, лежащего на той же параллели. На океане все пути доступны, и осуществить там путешествие по кратчайшему пути всегда возможно, если знать, как он пролегает. В нашем случае естественно думать, что кратчайший путь идет вдоль той параллели, на которой лежат оба порта: ведь на карте — это прямая линия, а что может быть короче прямого пути! Но мы ошибаемся: путь по параллели вовсе не кратчайший.
В самом деле: на поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками есть соединяющая их дуга большого круга[1]. Но круг параллели — малый круг. Дуга большого круга менее искривлена, чем дуга любого малого круга, проведенного через те же две точки: большему радиусу отвечает меньшая кривизна. Натяните на глобусе нить между нашими двумя точками (см. рис. 3); вы убедитесь, что она вовсе не ляжет вдоль параллели. Натянутая нить — бесспорный указатель кратчайшего пути, а если она на глобусе не совпадает с параллелью, то и на морской карте кратчайший путь не обозначается прямой линией: вспомним, что круги параллелей изображаются на такой карте прямыми линиями, всякая же линия, не совпадающая с прямой, есть кривая.
Рис. 3. Простой способ отыскания действительно кратчайшего пути между двумя пунктами: надо на глобусе натянуть нитку между этими пунктами
После сказанного становится понятным, почему кратчайший путь на морской карте изображается не прямой, а кривой линией.
Рассказывают, что при выборе направления для Николаевской (ныне Октябрьской) железной дороги велись нескончаемые споры о том, по какому пути ее проложить. Конец спорам положило вмешательство царя Николая I, который решил задачу буквально «прямолинейно»: соединил Петербург с Москвой по линейке. Если бы это было сделано на меркаторской карте, получилась бы конфузная неожиданность: вместо прямой дорога вышла бы кривой.
Кто не избегает расчетов, тот несложным вычислением может убедиться, что путь, кажущийся нам на карте кривым, в действительности короче того, который мы готовы считать прямым. Пусть обе наши гавани лежат на 60-й параллели и разделены расстоянием в 60°. (Существуют ли в действительности такие две гавани — для расчета, конечно, безразлично.)
На рис. 4 точка О — центр земного шара, АВ — дуга круга широты, на котором лежат гавани А и В; в ней 60°. Центр круга широты — в точке С. Вообразим, что из центра О земного шара проведена через те же гавани дуга большого круга: ее радиус OB = ОА = R; она пройдет близко к начерченной дуге АВ, но не совпадет с нею.
Вычислим длину каждой дуги. Так как точки А и В лежат на широте 60°,то радиусы ОА и ОВ составляют с ОС (осью земного шара) угол в 30°. В прямоугольном треугольнике АСО катет АС (=r), лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы АО; значит r = R/2, Длина дуги АВ составляет одну шестую длины круга широты, а так как круг этот имеет вдвое меньшую длину, чем большой круг (соответственно вдвое меньшему радиусу), то длина дуги малого круга AB = 1/6 ∙ 40 000/2 = 3333 км.
Рис. 4. К вычислению расстояний между точками А и В на шаре по дуге параллели и по дуге большого круга
Чтобы определить теперь длину дуги большого круга, проведенного между теми же точками (т. е. кратчайшего пути между ними), надо узнать величину угла АОВ. Хорда АВ, стягивающая дугу в 60° (малого круга), есть сторона правильного шестиугольника, вписанного в тот же малый круг; поэтому АВ = r = R / 2.
Проведя прямую OD, соединяющую центр О земного шара с серединой D хорды АВ, получаем прямоугольный треугольник ODA, где угол D — прямой:
1
Большим кругом на поверхности шара называется всякий круг, центр которого совпадает с центром этого шара. Все остальные круги на шаре называются малыми.