б) Доказательство Уильяма Хейтсбери
В более раннем доказательстве теоремы о среднем градусе, принадлежащем Хейтсбери, разъяснению основных пунктов этого открытия посвящена значительная часть текста, причем у Хейтсбери еще более ясно, чем у Суайнсхеда, выражено стремление доказать эти пункты.
Например, выдвигается ряд аргументов с целью обосновать положение, что «для всякой широты, начинающейся от покоя и заканчивающейся на некотором конечном градусе, средний градус есть точно половина того градуса, которым заканчивается эта широта» [103, 278]. Констатация совпадения среднего «по количеству» и среднего «по порядку» составляет нерв доказательства Хейтсбери, он понимает всю значимость этого факта и хочет его удостоверить с помощью следующего рассуждения. Широта движения состоит из бесконечного числа градусов от 0 до п. В этом континууме можно выделить дискретную последовательность градусов, начинающуюся с n, в которой каждый последующий градус относится к предыдущему, как 2:1, так что градусы, входящие в последовательность, убывают в непрерывной пропорции. Для любой непрерывной пропорции из трех терминов справедливо утверждение, что «каково отношение первого ко второму, или второго к третьему, таково будет и отношение разницы между первым и средним к разнице между средним и третьим» [103, 278—279]. В случае бесконечной пропорции между разностями величин соседних градусов будет такое соотношение: «какова будет разница, такова будет и сумма (aggregatum) всех разниц между последующими терминами» [103, 279]. В подтверждение он ссылается на аналогичное соотношение, имеющее силу для конечных непрерывных пропорций: «какова первая пропорциональная часть любой конечной величины, такова же точно и сумма всех отдельных пропорциональных частей ее» [там же]. Поскольку второй градус в выбранной Хейтсбери бесконечной непрерывной пропорции вдвое меньше первого, а «разность или широта между первым и вторым… будет равна широте, составленной из всех разностей или широт между остальными градусами, т. е. теми, которые следуют за двумя первыми» [там же], то Хейтсбери считает установленным, что средний (в смысле среднеарифметического) градус широты является средним и в другом отношении: он находится на равном расстоянии от крайних градусов широты, т. е. может быть получен из первого вычитанием точно такой же величины, как и неградус из него; иначе говоря, он средний по отношению к процессу преобразования. Вот как этот вывод звучит в изложении Хейтсбери: «Следовательно, совершенно одинаково (equaliter precise) и на равную широту отстоит тот второй градус, относящийся к первому как половина к своему двойному, от того двойного, как этот второй отстоит от не-градуса или от противоположного края данной величины» [103, 279—280].
Доказательство Хейтсбери позволяет уточнить смысл, вкладываемый мертонскими кинематиками в понятие «широты движения» (latitudo motu). Широта — это прежде всего разность между любыми двумя неравными градусами скорости; рассматриваемая с этой точки зрения, она эквивалентна понятию приращения скорости в физике нового времени и именно так обычно и переводят латинский термин latitudo motu историки науки (например, Муди, Кладжет, Грант). В цитированных нами фрагментах доказательства Хейтсбери речь все время шла о широте в смысле разности градусов; Хейтсбери показывает, что средний градус широты (определенный через операцию вычитания) «есть точная половина того градуса, которым она оканчивается» [103, 280], если широта начинается с не-градуса. Как мы выяснили, ближайшей целью доказательства Хейтсбери является сопоставление двух способов вычисления среднего градуса: первого — количественного, когда суммируются два градуса (начальный и конечный) и полученный результат делится пополам, и второго — «порядкового», когда значение среднего градуса отыскивается с помощью операций, применяемых всякий раз к одному из градусов. Первый способ требует одновременного рассмотрения начального и конечного градуса, которые вследствие этого предстают как актуально данные количества (поэтому мы и назвали его «количественным»); второй состоит в применении одной и той же операции к последовательно получаемым величинам. И тот и другой приводят к одинаковому результату; их различие заключается лишь в методах получения этого результата. Рассуждение Хейтсбери, таким образом, движется пока в чисто математической плоскости, фиксируя и различие и сходство двух алгоритмов вычисления величин среднего градуса. Но затем оно получает физическую интерпретацию, которая придает предшествующей математической аргументации новый смысловой оттенок.
Когда Хейтсбери переходит к главному пункту доказательства, касающемуся расстояния, проходимого при равномерном движении, он не дает никаких дополнительных пояснений понятию среднего градуса, считая, по-видимому, что сказанного прежде вполне достаточно. Его целью является обоснование двух утверждений: 1. «Если движение равномерно приобретает некую широту, начинающуюся от не-градуса и оканчивающуюся некоторым конечным градусом», то «все это движение или все это приобретение (tota alia aquisitio) будет соответствовать своему среднему градусу» [103, 280]. Такое же соответствие будет и в случае, когда приобретаемая широта движения начинается от некоторого градуса. И 2. «Когда равномерно производится некая интенсификация движения от не-градуса до некоторого градуса, то в первую половину времени будет пройдено точно треть того, что будет пройдено во вторую половину. И если, напротив, равномерно производится ослабление (remissio) от того же градуса или от какого бы то ни было другого до не-градуса, то в первую половину времени будет пройдено точно в три раза большее расстояние, чем то, что будет пройдено во вторую половину времени» [там же]. По ходу доказательств этих утверждений вдруг выясняется, что средний градус широты совпадает с градусом скорости, наличным в «средний момент времени» [103, 281] движения. Оказывается, когда выше речь шла о разностях различных градусов скорости, т. е. об операциях вычитания, то вычитаемое в них следовало понимать не только как величину, которую надо отнять, чтобы из большего градуса получить меньший. Эта величина, по замыслу Хейтсбери, является неотделимой от «расстояния» между двумя градусами, выполняющими функции уменьшаемого и разности, а само «расстояние» совпадает с длительностью временного интервала, разделяющего указанные градусы.
4.8. Формирование идей функциональной зависимости и переменной величины
В понятии «широта движения» совмещаются, таким образом, два аспекта: с одной стороны, моделируемый математической операцией вычитания, а с другой — схватываемый в понятии времени. Современный физик или математик сказали бы, что такое совмещение достигается благодаря соответствию, фактически устанавливаемому Хейтсбери между двумя множествами: множеством градусов скорости и множеством моментов времени. Но Хейтсбери этого не говорит, и не только потому, что идея такого соответствия, т. е. идея функциональной зависимости, только-только начинала формироваться. Сама исходная интуиция, лежащая в основе его доказательства, была другой. Хейтсбери, так же как и Суайнсхед, устанавливает закономерности, присущие равноускоренному движению, не путем ретроспективного анализа его особенностей, когда само движение уже прекратилось, а моделируя процесс его протекания. Равномерное движение для него — это движение, широта которого «приобретается или утрачивается» равномерно; только при таком взгляде на движение тела могла возникнуть необходимость в определении не всего времени его движения, а последовательности временных отрезков, из которых складывается время целого движения, а также возрастающей и убывающей последовательности градусов. Апелляция к движению не как к предмету изучения, а как к средству доказательства, позволяющему «пересчитать» все градусы скорости (эта конструктивно-доказательная функция движения особенно заметна в теореме Суайнсхеда, но без нее распались бы и все рассуждения Хейтсбери), не должна, по-видимому, расцениваться только как свидетельство недостаточной зрелости математической мысли (как известно, при установлении различного рода соответствий и функциональных зависимостей, согласно представлениям современной математики, нет необходимости привлекать понятие движения). Она заслуживает более серьезного отношения, поскольку в ней отразились моменты, существенные, на наш взгляд, для понимания не только генезиса идеи функциональной зависимости, но и самой проблемы.