Рис. 16.6. Лента Мёбиуса
Хотя построить ленту Мёбиуса просто, она обладает многими удивительными свойствами. В отличие от цилиндра, у ленты Мёбиуса всего одна сторона. Муравей, ползущий вдоль средней линии ленты Мёбиуса, вернется в исходную точку, оставаясь все время на одной стороне. Эту мысль можно выразить и по-другому: цилиндр можно покрасить в синий цвет с одной стороны и в красный с другой, но лента Мёбиуса может быть только целиком красной или целиком синей. Кроме того, в отличие от цилиндра, у ленты Мёбиуса всего один край. Муравей будет видеть край слева и справа от себя, не понимая, что на самом деле это один и тот же край.
Лента Мёбиуса — топологический объект, обожаемый любителями математики. его изображали многие скульпторы и художники. Пожалуй, самый знаменитый художественный образ принадлежит М. К. Эшеру (1898–1972), который в 1963 году выполнил на дереве гравюру с изображением (кого же еще!) муравьев, ползущих по ленте Мёбиуса (рис. 16.7). Она встречается и в литературе — обычно в научной фантастике, — например в коротком рассказе Артура Кларка «Стена мрака», написанном в 1949 году142. Она же лежит в основе удостоенного награды дизайна Гэри Андерсона, который на конкурсе ко Дню Земли в 1970 году создал символ вторичной переработки, ныне встречающийся повсеместно[9]. Лента Мёбиуса применяется для создания конвейерных лент и ленточных петель, чтобы они изнашивались равномерно.
Рис. 16.7. Две знаменитые ленты Мёбиуса: «Лента Мёбиуса II» Эшера (1963) и символ вторичной переработки
Лента Мёбиуса даже лежит в основе фокуса с загадочным названием «афганские ленты», который можно проследить по крайней мере до 1882 года. Фокусник держит в руках три матерчатые петли — как он объясняет, выполняющие функции поясов для одежды. Беда в том, жалуется он, что ему нужны пояса для двух клоунов, полной дамы и сиамских близнецов. Он берет первую полоску, разрезает ее вдоль средней линии и получает пояса для обоих клоунов. Потом так же кромсает вторую полоску, но вместо двух петель получает одну удвоенной длины — пояс для полной дамы. Наконец, чтобы получить пояса для близнецов, он разрезает третью полоску и получает два сцепленных вместе пояса. Фокус, как видно на рис. 16.8, в том, что петли изначально перекручены (ноль раз, один раз и два раза соответственно). Для максимального эффекта ткань или бумага должны быть гибкими, а их ширина должна быть гораздо меньше длины, чтобы публика не заметила перекрутов. Стивен Барр предлагает следующую драматичную модификацию143. До начала представления нанесите горючую жидкость на среднюю линию скрученной петли. Выступая перед публикой, прикрепите край петли к стене и поднесите к ткани спичку. Вспышка пламени — и петля распадается на части нужной конфигурации.
Читателю стоит отложить книгу и попробовать эти и другие варианты разрезания (см. примеры в приложении A). Попробуйте перекрутить ленты более двух раз. Попробуйте разрезать ленту Мёбиуса вдоль линии, проходящей на расстоянии 1/3 от одного из «двух» краев. Лично мне больше всего нравится фокус, придуманный Стэнли Коллинзом144. Протащите ленту через обручальное кольцо и только потом перекрутите ее три раза и склейте. Если теперь разрезать ленту посередине, то образуется узел, и кольцо окажется внутри него!
Рис. 16.8. Афганские ленты
Лента Мёбиуса названа в честь Мёбиуса, но почти в то же время ее открыл Листинг (именно Листинг первым обратил внимание на математику, лежащую в основе будущего фокуса с афганскими лентами). Листинг опубликовал свое описание ленты Мёбиуса в 1861 году145, через четыре года после Мёбиуса146. Из переписки и замечаний следует, что первое упоминание принадлежит Листингу (июль 1858 года), который опередил Мёбиуса (сентябрь) на несколько месяцев.
Причина, по которой лента Мёбиуса не носит имя Листинга, заключается в том, что Мёбиус первым понял математический смысл свойства односторонности. Сегодня мы называем такие поверхности неориентируемыми. Есть несколько способов описать это явление математически. Мёбиус показал, что ленту Мёбиуса невозможно разбить на треугольники, а затем на каждом из них выбрать ориентацию, согласованную с соседями (см. рис. 16.9).
9
На самом деле в какой-то момент появился вариант символа Андерсона с тремя разорванными стрелками. Сейчас можно встретить оба варианта.