Все простейшие узлы альтернирующие. Любой узел с семью или меньшим числом пересечений альтернирующий, и лишь три узла с 8 пересечениями таковыми не являются (один из них показан на рис. 18.11). Однако с увеличением количества пересечений относительная доля альтернирующих узлов падает. Из 2404 простых узлов (что такое простой узел, мы определим чуть ниже) с 12 или меньшим числом пересечений только 63 % альтернирующие. Из примерно 1,7 млн простых узлов с 16 или меньшим числом пересечений только 29 % альтернирующие166.
Рис. 18.11. Неальтернирующий узел с 8 пересечениями
Спасает нас теорема, доказанная в конце 1950-х годов Ричардом Г. Кроуэллом и Кунио Мурасуги167.
Иными словами, поскольку трилистник, восьмерка, печать Соломона и пряничный человечек — альтернирующие узлы, можно с уверенностью сказать, что их род равен соответственно 1, 1, 2 и 2. Итак, ни один из этих четырех узлов не является тривиальным, а трилистник и восьмерка отличаются от печати Соломона и пряничного человечка. Сейчас читатель наверняка сможет доказать, что два узла, приведенных во введении (рис. I.5), различны.
Теперь мы немного отвлечемся и определим род квадратного узла. Простые числа являются кирпичиками, из которых построены все положительные целые числа. Число p > 1 называется простым, если его единственными делителями являются оно само и 1, в противном случае число называется составным. Аналогично мы определим простые узлы — кирпичики, из которых состоят все узлы. Для этого нам понадобится способ «умножения» узлов.
Пусть даны узлы K и L, тогда их произведение, обозначаемое K#L, строится следующим образом. Поместим проекции K и L рядом друг с другом (но так, чтобы они не пересекались). Разрежем внешние пряди обоих узлов и соединим все четыре конца, не создавая новых пересечений. На рис. 18.12 мы видим, что квадратный узел является произведением трилистника и его зеркального изображения (произведение двух трилистников называется бабушкиным узлом).
Узел M называется простым, если из того, что M = K#L, следует, что K или L — тривиальный узел[10]. Иными словами, узел простой, если его нельзя записать в виде произведения двух нетривиальных узлов. Нетривиальный узел, не являющийся простым, называется составным. Очевидно, что простота является инвариантом узла. Мы показали, что квадратный узел составной. Примем без доказательства, что трилистник, восьмерка, печать Соломона и пряничный человечек — простые узлы, поэтому ни один из них не может быть изотопичен квадратному узлу.
Рис. 18.12. Композиция трилистника и его зеркального изображения является квадратным узлом
Предположим, что нам известны рода узлов K и L. Легко ли определить род K#L? Обозначим SK и SL поверхности Зейферта узлов K и L минимального рода. Используя те же самые проекции K и L, образуем K#L и соответствующую поверхность Зейферта SK#L. Легко видеть, что если SK образована dK дисками и bK лентами, а SL — dL дисками и bL лентами, то SK#L образована dK + dL — 1 дисками и bK + bL лентами. Поэтому род SK#L равен
½[1 — (dK + dL — 1) + (bK + bL)] = ½(1 — dK + bK ) + ½(1 — dL + bL)
= g(K) + g(L).
Проблема в том, что мы не знаем, является ли SK#L поверхностью Зейферта минимального рода для узла K#L. Поэтому мы можем только утверждать, что g(K#L) ≤ g(K) + g(L). Мы опускаем доказательство, но на самом деле SK#L действительно имеет минимальный род. Таким образом, род аддитивен.
Эта формула позволяет вычислить род квадратного узла:
g(квадратный узел) = g(трилистник) + g(трилистник) = 1 + 1 = 2.
У этой формулы есть интересное следствие: если K или L — нетривиальный узел, то K#L тоже нетривиален. Это следует из того, что если g(K) ≠ 0 или g(L) ≠ 0, то g(K#L) ≠ 0. Вот один из способов интерпретации этого утверждения: если шнурки завязаны узлом, то невозможно взять два свободных конца и завязать узел, так чтобы узел на шнурках развязался. Узлы не имеют «обратных узлов», которые их развязывали бы.
Стоит отметить, что если K и L — альтернирующие узлы, то K#L — тоже альтернирующий узел (сможете это доказать?). Поэтому у квадратного узла, для которого мы не показали альтернирующую проекцию, такая проекция все же существует.
10
Тривиальный узел удовлетворяет этому определению простоты, но как 1 не считается простым числом, так и тривиальный узел не считается простым узлом.