2π — nπ + (a1 + а2 +… + an) = (a1 + a2 +… + an) — (n — 2)π.
Рис. 20.11. Разметка поверхности: 2π на каждой грани, — π на каждом ребре и величины углов в каждой вершине
Следовательно, сумма этих величин по всей поверхности дает полный угловой избыток поверхности.
С другой стороны, каждая грань привносит 2π, каждое ребро —2π, а каждая вершина — 2π. Сумма эти значений равна 2πF — 2πЕ + 2πV = 2πχ(S), и требуемый результат доказан.
Формула Декарта и теорема об угловом избытке — красивые теоремы, показывающие, что топология в некотором смысле управляет геометрией. В следующей главе мы рассмотрим еще один пример. Мы увидим, что полная кривизна поверхности зависит от ее топологии, а та тесно связана с эйлеровой характеристикой.
Приложения к главе
183. Shakespeare (1992), 36.
184. Polya (1954), 57–58.
185. Hopf (1935).
186. Quoted in Federico (1982), 43.
187. Euler (1758b); Euler (1758a).
Глава 21
Топология искривленных поверхностей
Если бы другие размышляли над математическими истинами так глубоко и постоянно, как это делаю я, они пришли бы к моим открытиям.
Один из самых фундаментальных вопросов в геометрии плоских кривых — кривизна. Кривизна в точке x — это число k, измеряющее «крутизну» поворота в этой точке, т. е. скорость изменения направления касательного вектора. Пусть в точке x построен нормальный вектор n к кривой; если кривая изгибается в направлении n, то k > 0, если в направлении, противоположном n, то k < 0, в противном случае к = 0 (см. рис. 21.1). Чем круче изгибается кривая, тем больше (по абсолютной величине k).
Рис. 21.1. Кривые c k > 0, k < 0, k = 0 и k = 0 (слева направо)
По теореме Жордана, у простой замкнутой кривой на плоскости есть внутренность и внешность. Поэтому можно выбрать нормальные векторы во всех точках кривой, так что все они будут указывать внутрь. После этого мы сможем вычислить кривизну в каждой точке кривой. Обычно кривизна изменяется от точки к точке (см. рис. 21.2). Просуммировав кривизну по всем точкам кривой, мы получим полную кривизну. Детали этого вычисления выходят за рамки книги, но любой студент, изучавший математический анализ, сразу поймет, что, коль скоро кривизна изменяется непрерывно, сумма, о которой идет речь, — не что иное, как интеграл кривизны. Имеет место следующая теорема[12].
Рис. 21.2. Кривая с областями положительной, отрицательной и нулевой кривизны; нормальные векторы указывают внутрь
Иными словами, полная кривизна всех простых замкнутых гладких кривых одинакова! Если бросить на стол веревочную петлю, так чтобы она не пересекала самое себя, то области отрицательной и положительной кривизны компенсируют друг друга, так что полная кривизна будет равна 2π. То есть факт гомеоморфности окружности однозначно определяет полную кривизну. Снова мы видим, как топология управляет геометрией.
Мы не станем доказывать эту теорему, но она тесно связана с теоремой о вращающихся касательных из предыдущей главы. И снова студент, знакомый с математическим анализом, заметит, что, поскольку мы суммируем скорость изменения вращающихся касательных, полная кривизна просто равна полному изменению угла касательного вектора, т. е. 2π.
Можно рассматривать эту теорему как еще одно обобщение теоремы о сумме внешних углов многоугольника. Вдоль сторон многоугольника кривизна равна нулю, а вся его кривизна сосредоточена в вершинах и принимает вид внешних углов. Полная кривизна равна 2π.
Теперь перейдем от кривых к поверхностям. Поскольку мы изучаем геометрические свойства поверхностей, то должны считать их жесткими, а не сделанными из резины, как в топологии. Будем также предполагать, что поверхности гладкие, не имеют резких складок и углов.
Как и для кривых на плоскости, мы исследуем кривизну поверхностей в трехмерном пространстве. Снова выберем вектор n, нормальный к поверхности в точке x. Затем рассмотрим плоскость, проходящую через x и параллельную n. Пересечением этой плоскости с поверхностью является некоторая кривая, кривизну которой можно вычислить. Обычно кривизна кривых для разных плоскостей различается. Наименьшее и наибольшее значения k1 и k2 называются главными кривизнами поверхности в точке x (см. рис. 21.3). В 1760 году Эйлер доказал, что главным кривизнам соответствуют перпендикулярные плоскости189.