Из такого определения гауссовой кривизны можно сделать еще один вывод. Рассмотрим лист бумаги, лежащий на столе. Очевидно, что его гауссова кривизна равна нулю. Если свернуть его в цилиндр, то геометрия изменится, но гауссова кривизна по-прежнему будет равна нулю. Как ни старайся, превратить лист бумаги в сферу положительной кривизны или седло отрицательной кривизны не получится. При любой деформации листа бумаги его кривизна останется нулевой. На техническом жаргоне эту мысль можно выразить, сказав, что мы можем изменять внешнюю кривизну листа, но никогда не сумеем изменить его внутреннюю кривизну.
Две главные кривизны k1 и k2 измеряют внешнюю кривизну поверхности — они зависят от того, как поверхность располагается в трехмерном пространстве. Для плоского листа бумаги k1 = k2 = 0, но для цилиндра одна из этих величин ненулевая. Главные кривизны являются внешними, потому что обитатели поверхности никогда не смогли бы вычислить их, производя вычисления только на поверхности. Они должны выйти за пределы поверхности и посмотреть, как она расположена в окружающем пространстве. Поскольку гауссова кривизна является произведением главных кривизн, k = k1k2, она также служит мерой внешней кривизны.
Однако величины площадей и углов — внутренние свойства поверхности, поскольку могут быть измерены живущими на ней существами. Для вычисления этих величин не нужно фиксировать положение поверхности в пространстве. Площадь и углы треугольника, нарисованного на листе бумаги, не изменятся, когда мы свернем его в цилиндр. Следовательно, поскольку гауссову кривизну можно определить в терминах этих величин, она фактически является мерой внутренней кривизны поверхности!
Именно Гаусс первым открыл, что произведение двух внешних главных кривизн дает меру внутренней кривизны поверхности. Он оценил красоту своего открытия, поэтому назвал его theorema egregium, или «замечательная теорема».
Поскольку гауссова кривизна — внутреннее свойство поверхности, для ее измерения не требуется, чтобы объект был жестко закреплен в пространстве. Однако это и не топологическая мера. Если бы лист бумаги был топологической поверхностью (сделанной из резины), то можно было бы как угодно изменить его кривизну и сильно исказить нарисованный на нем треугольник.
В 1827 году Гаусс доказал важную теорему, в которой развивалась связь между кривизной, площадью и угловым избытком192. Точно так же, как мы вычислили полную кривизну простой замкнутой кривой, Гаусс хотел вычислить полную кривизну области на поверхности. Для поверхности постоянной кривизны все просто. Если гауссова кривизна равна k, то полная кривизна области R равна k · A(R), где A(R) — площадь R. Если область является геодезическим треугольником △, то полная кривизна равна k · A(△) = [E(△)/A(△)]A(△) = E(△), угловому избытку треугольника.
Замечательная теорема Гаусса утверждает, что это верно и для геодезических треугольников на поверхностях непостоянной кривизны[13].
Иными словами, эта теорема говорит, что полная кривизна геодезического треугольника △ равна a + b + c — π, где a, b, c — внутренние углы △.
Вторым человеком, имя которого фигурирует в названии этой теоремы, является французский геометр Пьер Оссиан Бонне (1819–1892). В 1848 году Бонне обобщил теорему Гаусса, доказав ее вариант для областей, стороны которых не являются геодезическими; этот вариант мы здесь приводить не будем193. Таким образом, Гаусс мог вычислить полную кривизну любого геодезического треугольника, а Бонне — полную кривизну любой замкнутой области на поверхности.
Удивительно, что ни Гаусс, ни Бонне не задались, казалось бы, естественным вопросом: какова полная кривизна всей поверхности? Они даже не поинтересовались полной кривизной сферы. Полную кривизну поверхности можно вычислить без всякого труда, объединив локальную теорему Гаусса-Бонне с теоремой об угловом избытке (по техническим причинам необходимо потребовать, чтобы поверхности были ориентируемыми).
Разобьем поверхность на геодезические треугольники. По локальной теореме Гаусса-Бонне, полная кривизна каждого треугольника равна его угловому избытку. Поэтому полная кривизна поверхности S равна полному угловому избытку поверхности, который, как мы знаем, составляет 2πχ(S). Этот результат теперь называется глобальной теоремой Гаусса-Бонне[14].
13
Локальная теорема Гаусса-Бонне утверждает, что ∫△k dA = a + b + c — π, где a, b,c — внутренние углы геодезического треугольника △.
14
Глобальная теорема Гаусса-Бонне утверждает, что полная кривизна поверхности S равна ∫Sk dA = 2πχ(S).