Работу математика Ярослава Сергеева, о которой мы сегодня рассказываем, нельзя отнести ни к одному из этих направлений мысли. От первого из них она отличается наглядностью и практической (по замыслу, по крайней мере) ориентированностью, от второго – полным соответствием научным стандартам. Сергеев воплотил в жизнь мечту, часто посещающую школьников и математиков-первокурсников, – придумал арифметику, объединяющую конечные и бесконечные числа. Более того, он разработал (и запатентовал!) конструкцию компьютера, выполняющего операции этой арифметики.
Рецензенты работ Сергеева предрекают, что на основе его результатов будет создано "множество новых мощных инструментов в анализе, информатике, теории множеств, теории измерений". Вполне возможно, что так и произойдет, но нельзя забывать, что такие прогнозы – дело очень неблагодарное. Энтузиазм по поводу перспектив нестандартного анализа – аппарата, созданного в 1960-е годы для введения в матанализ бесконечно малых и бесконечно больших чисел (см. врезку "Реинкарнация грифонов"), – был велик. Сегодня нестандартный анализ жив, но великих надежд с ним уже не связывают.
Вышедшая в 1987 году книга Владимира Успенского "Введение в нестандартный анализ" начиналась с вопроса: "Относятся ли грифоны и единороги к позвоночным?", который иллюстрировал экзотичность темы. В то время слово «грифон» было редким, индустрия фэнтези еще не вышла на книжный рынок, да и самого книжного рынка в России еще не было, да и сама Россия была еще Советским Союзом. Все с тех пор изменилось, а вот арифметика бесконечностей осталась экзотическим предметом – несмотря на то, что нестандартный анализ разрабатывался рядом крупных математиков начиная с 1960-х годов и популярность его была довольно высока.
Нестандартный анализ основан на системе "гипердействительных чисел", содержащей бесконечно малые и бесконечно большие величины и допускающей использование необходимых в анализе функций и эффективное решение уравнений. Построение гипердействительных чисел основано на сложной классификации бесконечных последовательностей обычных действительных чисел. При помощи этого аппарата были решены несколько серьезных задач функционального анализа, его использовали для описания «мгновенных» перестроек структуры решений дифференциальных уравнений. Сейчас "нестандартные методы" проникли в комплексный анализ, теорию чисел, алгебраическую геометрию, даже в некоммутативную геометрию, самый модный и стремительно развивающийся раздел современной математики. Впрочем, создатель некоммутативной геометрии Ален Конн (Alain Connes) высказывался о нестандартном анализе довольно резко. Причина (которую не отрицают, похоже, и энтузиасты нестандартной математики) – практически все, что удалось сделать с помощью этого аппарата, можно сделать и без него. Судя по обзору И. Фесенко (www.maths.nott.ac.uk/personal/ibf/rem.pdf), нестандартные методы сегодня рассматриваются скорее как "путеводная звезда" при поиске новых подходов к задачам.
Ниже мы расскажем об одном из первых приложений "бесконечных чисел" Сергеева – вычислении с их помощью геометрических характеристик фракталов, как классических, так и более общих, мерцающих (blinking fractals). Но прежде давайте разберемся в конструкции новой числовой системы.