Аргуновы много времени отдавали семье. Кроме- сына Федора и дочери Мавры они воспитывали двух рано осиротевших племянников — Ивана, ставшего впоследствии известным портретистом, и Федора, также работавшего как живописец. Дети были окружены заботой и вниманием, что вместе со всей домашней обстановкой, где преобладала атмосфера трудовой деятельности, оказывало на будущих художников хорошее влияние., помогало им в приобретении знаний и практических навыков своей профессии. С. М. Аргунов, относившийся к привилегированной части графской дворни, стремился дать сыну и племянникам возможное в этих условиях образование. Именно он обратил внимание П. Б. Шереметева на их талант. Федор, согласно установившемуся правилу отдавать крепостных на выучку к столичным мастерам, был определен учеником к С. И. Чевакипскому.
Савва Иванович Чевакинский (1713 — между 1774–1780) относится к числу наиболее выдающихся русских архитекторов середины XVIII века. Один из авторов царскосельского ансамбля, строитель Никольского военно-морского собора в Петербурге, этот зодчий оставил заметный след в архитектуре русского барокко. Вероятно, именно у него Федор Аргунов перенял любовь к простым логичным планам, четко построенным фасадам, наделенным выразительными пластичными декоративными деталями.
С. И. Чевакинский в своей педагогической работе не отделял теоретических занятий от архитекторской и строительной практики. Здесь чередовались составление смет и разработка проектов, приемка строительных материалов и исполнение чертежей. Это давало возможность молодому зодчему почувствовать масштаб сооружения и отдельных его частей, ощутить еще не осуществленный проект в полном его объеме.
В 1750–1755 гг. Чевакинский строил для Шереметевых дворец на набережной реки Фонтанки. Вместе с ним работал и Федор Аргунов. Это была его первая большая творческая работа.
Еще в 1712 г. большой участок на берегу Фонтанки, соседний с Итальянским дворцом Екатерины I, был отведен фельдмаршалу Б. П. Шереметеву "на дворовое строение". В те времена это была загородная местность, и правительство, раздавая здесь земли, стремилось застроить и укрепить берега речки Ярика, как тогда называли Фонтанку. Однако фельдмаршал строительством не занимался — при нем в 20-х годах был построен лишь небольшой деревянный дом. В 1730 — 1740-х годах сын фельдмаршала граф П. Б. Шереметев задумал устроить здесь большую усадьбу с дворцом, садом, павильонами и хозяйственными постройками. Уже в эти годы на месте старого деревянного был выстроен каменный одноэтажный дом, послуживший основанием для нового дворца. Вероятно, именно в эти годы Шереметев заказал Чевакипскому проект усадьбы. Строительство же растянулось на долгие годы.
Шереметевская усадьба на берегу Фонтанки, сохранившаяся до наших дней в основных чертах, по композиционному замыслу была очень близка к другим дворцам-усадьбам, построенным вдоль этой реки в первой половине XVIII века, таким, как Аничковский или Воронцовский. За дворцом, расположенным в глубине участка, и главным фасадом, обращенным к реке, и флигелями находился регулярный сад, простиравшийся вплоть до "Литейной перспективы". На Литейную же выходили флигель и каменная ограда. Сад с аллеями из шпалерных деревьев был украшен павильонами и фонтанами. Сбоку, ближе к Симеоновской церкви, располагался служебный двор.
Для Федора Аргунова участие в создании усадьбы на Фонтанке было и первым опытом работы архитектора-проектировщика, и первым опытом руководства строительства. В эти годы его учитель С. И. Чевакинский вел работы в Царском Селе и на Никольском соборе, которые отнимали уйму времени, поэтому можно говорить о молодом архитекторе (ему в ту пору было около двадцати лет) как о подлинном организаторе строительных работ, человеке энергичном, способном решать творческие и хозяйственные вопросы.
Законченный в 1755 г. дворец, получивший в отличие от дворца на Миллионной улице, название Фонтанный дом, по своему облику был достаточно типичным для своего времени.
Интерьеры дворца были выполнены Федором Аргуновым по собственным чертежам в конце 1750-х — начале 1760-х годов и отличались большим вкусом и роскошью [В 1795 г. И. Старов изменил интерьеры в классицистическом духе; в 1801 г. Д. Кваренги отделал заново галерею и кабинет; в 1808 г. А. Воронихин переделал камины и печи; ряд перестроек относится и ко второй половине XIX века]. Уже в этих ранних работах молодой архитектор показал себя прекрасным художником с тонко развитым чувством стиля, понимающим взаимосвязь декоративного убранства помещения с его функциональным назначением, мастером, обладающим богатой фантазией.