Особый интерес представляет для нас работа немецкого математика Бернгарда Римана из Геттингена, начатая им в 1854 г. Основываясь на исследованиях таких первопроходцев, как венгр Янош Бойяи, русский Николай Лобачевский, а также Гаусс, Риман разработал геометрию весьма общего типа, которая в сравнении с геометрией Евклида выглядит примерно как горы рядом с равниной. Подобное сравнение вполне наглядно для двумерных поверхностей; Риман же смело обратился к трем и более измерениям, бросив тем самым вызов наглядным представлениям и оставив единственную возможность чисто математической интерпретации. Эта многомерная беспорядочно искривленная Риманова геометрия оказалась именно тем, что было нужно Эйнштейну.
Далее, как известно, Гаусс открыл математический метод, позволивший извлекать из двумерного метрического тензора информацию о внутреннем искривлении поверхности, которую он описывает. Риман и независимо от него Эльвин Кристоффель распространили этот метод на многомерный случай. При этом они обнаружили — еще до появления тензорного исчисления — важную математическую величину, которую в наши дни называют по-разному: тензор Римана — Кристоффеля, или тензор кривизны. Этот тензор выведен исключительно из метрического тензора и содержит в себе ключевые компоненты однозначно определенных Эйнштейном гравитационных уравнений поля. Но это еще не все. Когда Риман и уже после него английский. математик Уильям Клиффорд отважились выдвинуть предположение, что материя, возможно, представляет собой просто искривление пространства, то их сочли чуть ли не сумасшедшими. Небезынтересно, что в 60-х гг. XIX в., когда Кристоффель независимо от Римана открыл тензор кривизны, он был профессором Цюрихского политехникума.
Что было бы, если бы Риман знал о пространстве — времени? Представил бы он тогда материю как кривизну четырехмерного, а не трехмерного мира? На этот вопрос можно почти наверняка ответить утвердительно. Построил бы он в таком случае и эйнштейновскую теорию гравитации? И на этот вопрос хотелось бы — по прошествии времени — дать положительный ответ. Однако все до единого шансы против этого. Можно было бы представить дело так, что эйнштейновская теория гравитации была разработана физиком, а не математиком. Однако такое противопоставление было бы явно недостаточным, ибо Эйнштейна в его работе вели даже не столько физические, сколько чисто интуитивные соображения. Именно это было в высшей степени характерным для него. И, не осознав этого в полной мере, мы не сумеем по достоинству оценить достижение Эйнштейна — ведь к нему не могла привести никакая логика. Как известно, он строил свою теорию на принципе эквивалентности и принципе общей ковариантности. Но высказывания Эйнштейна о принципе эквивалентности свидетельствуют о таких колебаниях, что некоторые специалисты хотя и признают важность этого принципа, тем не менее с пеной у рта спорят о том, что именно Эйнштейн имел в виду. Что же касается принципа общей ковариантности, уверенность Эйнштейна в том, что он выражает относительность всякого движения, была ошибочной[27]. Хуже того, как было вскоре отмечено, принцип общей ковариантности в некотором смысле бессодержателен, поскольку практически любая физическая теория, способная иметь математическое выражение, может быть представлена в тензорной форме — и это касается не только специальной теории относительности, но также и теории Ньютона.
Соглашаясь в какой-то мере с подобным мнением, Эйнштейн тем не менее настаивал, что этот принцип не лишен содержания: достаточно лишь в каждом конкретном случае потребовать, чтобы соответствующие тензорные уравнения были наиболее простыми и изящными. В самом деле, мастерство Эйнштейна проявилось в том, что он ограничил описание теории гравитации лишь десятью величинами gμν. Это действительно наполнило принцип общей ковариантности глубочайшим содержанием — но, чтобы увидеть это, нужно было быть Эйнштейном.
27
Эта уверенность основывалась, помимо всего прочего, на запутанных соотношениях между системами координат и системами отсчета. В своем рассказе мы намеренно не пытались устранить эту путаницу. Проблемы, с которыми приходилось иметь дело Эйнштейну, были необычайно тонкими.