Пожалуйста, не пугайтесь, прочитав следующее определение: логарифм числа есть показатель степени в выражении данного числа в виде степени числа 10. Логарифмы проще понять, если выразить их алгебраически: если а = 10b, то логарифм числа а равен b. Итак:
lg 10 = 1 (потому что 10 = 101),
lg 100 = 2 (потому что 100 = 102),
lg 1000 = 3 (потому что 1000 = 103),
lg 10 000 = 4 (потому что 10 000 = 104).
Нахождение логарифма числа — дело самоочевидное, если число это выражено как произведение десяток. Но как быть, если надо найти логарифм числа, которое не есть произведение десяток? Например, каков логарифм числа 6? Логарифм числа 6 — это число, показывающее, сколько раз 10 надо умножить само на себя, чтобы в результате получилось 6. Однако же кажется совершенно лишенным смысла говорить о том, что умножение числа 10 само на себя определенное число раз даст 6. Как можно умножить 10 само на себя дробное число раз? Конечно, вся идея и правда лишена смысла, когда мы пытаемся себе представить, что она могла бы означать в реальном мире, но мощь и красота математики в том и состоят, что нет нужды беспокоиться о каком бы то ни было смысле, выходящем за пределы алгебраических определений.
Логарифм числа 6 равен 0,778 с точностью до трех десятичных разрядов. Другими словами, когда мы умножим 10 само на себя 0,778 раз, мы получим 6[37].
Приведем список логарифмов чисел от 1 до 10, оставляя в каждом логарифме по три десятичных знака:
lg 1 = 0
lg 2 = 0,301
lg 3 = 0,477
lg 4 = 0,602
lg 5 = 0,690
lg 6 = 0,778
lg 7 = 0,845
lg 8 = 0,903
lg 9 = 0,954
lg 10 = 1,000
Так в чем же суть логарифмов? Логарифмы превращают более сложную операцию умножения в более простую — сложение. Точнее говоря, умножение двух чисел эквивалентно сложению их логарифмов. Если X × У = Z, то lg X + lg Y = lg Z.
Проверим это, используя приведенную таблицу значений:
3 × 3 = 9
lg 3 + lg 3 = lg 9
0,477 + 0,477 = 0,954
Еще раз:
2 × 4 = 8
lg 2 + lg 4 = lg 8
0,301 + 0,602 = 0,903
Поэтому для того, чтобы перемножить два числа, можно использовать следующий метод: превратим заданные числа в их логарифмы, сложим эти логарифмы, а полученный «третий» логарифм снова превратим в число. Чему, например, равно 2 × 3? Находим логарифмы чисел 2 и 3, равные 0,301 и 0,477, и, складывая их, получаем 0,788. Как мы видели из приведенного списка значений логарифмов, 0,788 есть логарифм числа 6. Итак, ответ равен 6.
Теперь умножим 89 на 62.
Прежде всего нам надо найти их логарифмы. Для этого можно воспользоваться калькулятором или Гуглом. До последних десятилетий XX столетия, впрочем, единственный способ сделать это состоял в том, чтобы найти соответствующие значения в таблицах логарифмов.
Логарифм числа 89 равен 1,949 с точностью в три десятичных разряда. Логарифм числа 62 равен 1,792.
Сумма логарифмов составляет 1,949 + 1,792 = 3,741.
Число, логарифм которого равен 3,741, есть 5518. Это опять же можно выяснить, воспользовавшись таблицами логарифмов.
Итак, 89 × 62 = 5518.
Существенный момент состоит в том, что единственное вычисление, которое нам пришлось сделать, чтобы узнать результат умножения, состояло в простом сложении.
Логарифмы, писал Непер, способны освободить математиков от «тяжелых затрат времени» и «ошибок, закрадывающихся при выполнении умножения, деления и извлечения квадратных и кубических корней из больших чисел». С появлением изобретения Непера оказалось возможным не только свести умножение чисел к сложению их логарифмов. Деление чисел превратилось в вычитание их логарифмов, вычисление квадратного корня стало делением на два, а вычисление кубического корня — делением на три.
37
Может быть интересно оценить ошибку, связанную с ограничением тремя цифрами после запятой: 100,778 = 5,9979. Разумеется, дело не в идее логарифмов, а в выбранной точности; повышая точность, получаем, например, 100,7781512304 = 6,000000000225971… (