Он начал с представления всех составных (т.е. не простых) чисел в виде точек в прямоугольниках, где наименьший простой делитель был шириной, а частное от деления числа на него – высотой. Например, число 15 представлялось в виде прямоугольника 3 х 5, 25 – как 5 х 5, 35 – как 5x7:
С помощью такого метода все четные числа представлялись в виде пар столбцов, как 2 х 2, 2 х 3, 2 х 4, 2 х 5 и т.д.
Напротив, простые числа, как не имеющие целых делителей, представлялись в виде одной строки, например 5, 7, 11:
Петрос использовал свою геометрическую интуицию для получения теоретико-числовых выводов.
После рождественских каникул он представил свой первый результат. Поскольку, однако, он вместо карандаша и бумаги выкладывал узоры из бобов на полу кабинета Харди, его новый подход вызвал насмешливые дифирамбы Литлвуда. Хотя более молодой член содружества и признал, что «знаменитый метод бобов Папахристоса» до некоторой степени полезен, Харди откровенно был раздражен.
– Что вы придумали с этими бобами? – спросил он. – Между элементарным и инфантильным разница огромная… И не забывайте, Папахристос, эта чертова проблема трудна – а то бы Гольдбах сам ее решил.
Петрос тем не менее верил в свою интуицию, а реакцию Харди отнес на счет «интеллектуального запора от старости» (его собственные слова).
– Великие истины жизни просты, – сказал он Литлвуду за чаем. Литлвуд возражал, вспоминал крайне сложное доказательство теоремы Адамара и Валле-Пуссена о распределении простых чисел. А потом предложил:
– Старина, а что вы скажете насчет того, чтобы заняться настоящей математикой? Я тут работаю над десятой проблемой Гильберта – разрешимость диофантовых уравнений. У меня есть идея, которую хочется проверить, но боюсь, мне нужна помощь с алгеброй. Как вы насчет помочь?
Но Литлвуду пришлось искать помощь с алгеброй в другом месте. Как бы ни был Петрос польщен верой в него коллеги, он решительно отказался. Он слишком погрузился в проблему Гольдбаха, сказал он, врос в нее, чтобы плодотворно работать над чем бы то ни было другим.
Его вера, подкрепленная упрямой интуицией, в «инфантильный» (как сказал Харди) геометрический подход, была так сильна, что впервые со времени начала работы над Проблемой он чувствовал, что находится на волосок от решения. Были даже восторженные минуты в один солнечный январский день, когда ненадолго возникла иллюзия, что он его нашел – но, увы, более трезвый анализ обнаружил небольшую, но решающую ошибку.
(Здесь, дорогой читатель, я должен сознаться: в этот момент дядиного рассказа я невольно ощутил прилив мстительной радости. Я вспомнил то лето в Пилосе, когда тоже какое-то время думал, что решил проблему Гольдбаха – хотя тогда и не знал ее названия.)
Несмотря на глубокий оптимизм, приступы сомнения в себе, иногда на грани отчаяния (особенно после пренебрежительного отзыва Харди о геометрическом методе), стали сильны, как никогда. Дядя боролся с ними, убеждая себя, что это страдания, предшествующие великому триумфу, родовые муки великого открытия. Ведь и ночь темнее всего перед рассветом. Петрос был уверен, что более чем готов для финального рывка. Решительный приступ сосредоточенных усилий – только это и нужно, чтобы вознаградить его последним блестящим озарением.
И потом – славный финиш…
Провозвестие сдачи Петроса Папахристоса, прекращения его усилий решить проблему Гольдбаха пришло во сне, который привиделся ему в Кембридже вскоре после Рождества, – знамение, все значение которого он не сразу постиг.
Как и многие математики, долго работающие над основными арифметическими проблемами, Петрос «подружился с натуральными числами», то есть приобрел глубокое знание пристрастий, капризов и странностей многих конкретных чисел. Несколько примеров: «друг натуральных чисел» сразу распознает 199, 457 или 1009 как простые числа. Число 220 немедленно ассоциируется с числом 284, поскольку эта пара связана необычным соотношением (сумма целых делителей каждого из них равна другому). Число 256 он тут же прочтет как 2 в восьмой степени, вслед за которым идет число, представляющее большой исторический интерес, поскольку 257 может быть выражено в виде
а существовала знаменитая гипотеза, что числа вида
являются простыми [22].
Первым известным моему дяде человеком, у которого это качество присутствовало, причем в крайней степени, был Сриниваса Рамануджан. Петрос видел это много раз и даже рассказал мне такую историю [23]:
Однажды в 1918 году они с Харди навещали Рамануджана в санатории. Чтобы сломать лед, Харди сообщил, что номер такси, которое их сюда привезло, был 1729 – число «довольно скучное», как ему показалось. Но Рамануджан, задумавшись лишь на мгновение, энергично возразил: «Нет, Харди, вы неправы! Это очень интересное число – оно наименьшее, которое может быть представлено в виде суммы двух кубов двумя способами!» [24]
За годы, которые Петрос работал над Проблемой с помощью элементарного подхода, его собственная дружба с числами развилась до исключительных пределов. Числа переставали быть неодушевленными сущностями; они почти оживали, у каждого была своя личность. Это – вместе с уверенностью, что решение где-то существует – поддерживало его в самые суровые времена: работая с натуральными числами, он – я цитирую – «чувствовал себя среди друзей».
Эта близость вызывала вхождение некоторых чисел в дядины сны. Из безымянной и безликой массы натуральных чисел, громоздившейся ранее в ночных спектаклях, стали выделяться отдельные актеры, даже главные действующие лица. Например, число 65 являлось почему-то в виде джентльмена из Сити, в котелке и с зонтиком, и с ним всегда один из его простых делителей – 13, гоблиноподобное создание, гибкое и быстрое как молния. Число 333 было жирным лентяем, ворующим куски изо рта своих братьев 222 и 111, а число 8191, известное как «простое число Мерсенна», неизменно имело внешность парижского гамена, вплоть до прилипшей к губе сигареты «голуаз».
Иногда видения были приятны и забавны, иногда безразличны, иногда же назойливы и неприятны. Но была еще одна категория арифметических снов, которые можно было бы назвать только кошмарными, если не из-за ужаса или муки, то из-за глубокой, бездонной тоски. Некоторые четные числа являлись в виде пары близнецов-двойняшек (напомним, что четное число всегда представимо в виде 2k, то есть суммы двух равных целых чисел). Эти близнецы смотрели на дядю не отрываясь, без выражения на неподвижных лицах. Но в глазах их была огромная, хоть и немая боль, боль отчаяния. Если бы они могли говорить, слова были бы такими: «Приди, умоляем тебя! Скорее освободи нас!»
В этих печальных видениях была одна вариация, которая пришла к нему как-то ночью в конце января 1933 года. Это и был тот сон, который дядя ретроспективно назвал «герольдом поражения».
Ему приснилось число 2100 (2 в сотой степени – число огромное) в виде двух одинаковых веснушчатых темноглазых красавиц, и они глядели прямо на него. Но теперь в этих глазах была не просто грусть, как раньше в глазах Четных, там была злость, даже ненависть. Они смотрели на него долго-долго (уже одного этого было бы достаточно, чтобы назвать сон кошмаром), и потом одна из них мотнула головой из стороны в сторону движением коротким и резким. Рот ее исказился в злобной ухмылке – это была злоба отвергнутой любви.
– Ты никогда до нас не доберешься, – прошипела она.
От этих слов Петрос вскочил с кровати в холодном поту. Слова 299 (то есть половины от 2100) могли значить только одно: ему не суждено решить Проблему. Конечно, он не был суеверен, как старуха, слепо верящая в приметы. Но глубокое истощение от многих бесплодных лет начало брать свое. Нервы были уже не так крепки, как раньше, и сон его необычайно расстроил.
Не в силах заснуть снова, он вышел погулять по темным туманным улицам, пытаясь стряхнуть ужасную подавленность. Когда он шел в занимающемся рассвете мимо древних каменных зданий, сзади внезапно послышались приближающиеся шаги, и Петрос, охваченный мгновенным страхом, резко обернулся. Из тумана материализовался быстро бегущий молодой человек в спортивной одежде. Он на ходу поздоровался и снова исчез, и его ритмичное дыхание быстро растаяло в тишине.
[22] Эту гипотезу в общей форме высказал Ферма, очевидно, обобщив старое наблюдение, что это верно для первых значений n, например
– все это простые числа. Однако потом было показано, что для
результат, равный 4 294 967 297, уже не является простым числом, поскольку имеет простые делители 641 и 6 700 417. Гипотезы не всегда оказываются верны! –