Иногда четвертое измерение толкуют не просто как дополнительную ось в пространстве. В конце концов, измерять можно не только пространство. В физике, например, основные “измерения”, образующие кирпичики, из которых строятся другие величины, – это длина, масса, время и электрический заряд. В других контекстах физики зачастую говорят о трех пространственных измерениях и одном – временно́м, особенно с тех пор, как Альберт Эйнштейн доказал, что в нашем мире они всегда связаны в единое целое под названием “пространство-время”. Но и до теории относительности люди строили догадки о возможности перемещаться вперед и назад во временно́м измерении, подобно тому как мы можем свободно передвигаться в пространстве. В опубликованном в 1895 году романе “Машина времени” Герберт Уэллс объясняет, например, почему не может существовать вневременный куб. Наблюдаемый нами мгновение за мгновением куб – всего лишь проекция четырехмерного тела, имеющего длину, ширину, высоту и продолжительность существования. “Единственное различие между Временем и любым из трех пространственных измерений, – говорит Путешественник во Времени, – заключается в том, что наше сознание движется по нему”[5].
Идея четвертого измерения пространства вызывала живейший интерес и в Викторианскую эпоху, причем не только у математиков. Последователи еще одного поголовного увлечения того времени – спиритуализма – также взяли ее на вооружение. В конце XIX века громкие заявления медиумов и перспектива общения с умершими привлекали многих людей, в числе которых были такие знаменитости, как Артур Конан Дойл, Элизабет Барретт Браунинг и Уильям Крукс. А вдруг, задумывались люди, загробная жизнь существует в четвертом измерении, параллельном или пересекающимся с нашим, и духи усопших могут свободно переходить в наш материальный мир и обратно?
Из-за неспособности представить себе, как могут выглядеть тела в более многомерном мире, у нас возникает соблазн считать четвертое измерение чем-то таинственным, находящимся за гранью известного нам мира. А вот у математиков работа с четырехмерными объектами и пространствами не вызывает никаких затруднений – для того чтобы описать их свойства, математикам вовсе нет необходимости представлять, как те выглядят. Эти свойства можно рассчитать с помощью алгебры и математического анализа, не прибегая ни к каким многомерным умственным ухищрениям. Возьмем, к примеру, окружность. Окружность – это кривая, состоящая из всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии (называемом радиусом) от заданной точки (центра). Как и у прямой линии, у окружности нет ни ширины, ни высоты – только длина, а потому окружность одномерна. Представьте, что вы находитесь на линии и ограничены ее пределами. Вы сможете передвигаться только вдоль этой линии, либо в одну сторону, либо в противоположную. То же и с окружностью. Хоть она и существует в пространстве, имеющем как минимум два измерения, но, если вы расположены на ней и ею же ограничены, свободы перемещения у вас не больше, чем на прямой: только туда и обратно по окружности, то есть фактически – одно измерение.
Нематематики иногда путают окружность с кругом. Но для математика круг – это совсем другой объект, включающий в себя и то, что находится в пределах окружности. Окружность – это одномерная фигура, которую можно “вложить” в двумерный объект, плоскость (упрощенно это можно изобразить, нарисовав окружность тонким карандашом на листе бумаги). Длина окружности равна 2πr, где r – ее радиус; а площадь поверхности, ограниченной окружностью, вычисляется по формуле πr2. Перейдя на одно измерение выше, получаем сферу, состоящую из всех точек, лежащих на одинаковом расстоянии от заданной, но уже в трехмерном пространстве. И опять-таки человек, далекий от математики, может спутать сферу (двумерную поверхность) с шаром, который включает в себя еще и все точки, находящиеся внутри этой поверхности. Для математика же это совершенно разные вещи. Сфера – двумерный объект, который может быть вложен в трехмерное пространство. Площадь ее поверхности равна 4πr2, а ограниченный ею объем – 4/3 πr3. По аналогии с обычной, двумерной, сферой математики, обобщая, называют окружность одномерной сферой, а сферы более высоких измерений именуют “гиперсферами”, указывая их размерность. Простейшая (трехмерная) гиперсфера – это трехмерный объект, вложенный в четырехмерное пространство. Вообразить себе, как она выглядит, мы не способны, но понять, что она из себя представляет, благодаря аналогии можем. Точно так же как окружность – это кривая линия, а обычная, двумерная, сфера – искривленная поверхность, трехмерная гиперсфера – это искривленный объем. С помощью несложного математического расчета можно доказать, что этот искривленный объем описывается формулой 2π2r3. Это эквивалент площади поверхности обычной сферы, только применительно к сфере трехмерной. Эту величину также называют трехмерной гиперплощадью, или площадью поверхности трехмерной гиперсферы. Внутри трехмерной гиперсферы заключено четырехмерное пространство, гиперобъем которого равен 1/2 π2r4. Доказать истинность этих фактов о трехмерной сфере не намного сложнее, чем доказать то же для окружности или обычной сферы, и для этого вовсе не обязательно представлять себе, как трехмерная сфера выглядит.