Но именно вследствие своего «схематического» характера аксиоматика не может претендовать ни па то, чтобы образовать фундамент, ни тем более на то, чтобы выступить в качестве замены соответствующей экспериментальной науки, т.е. науки, относящейся к той области реальности, схематическим выражением которой является аксиоматика. Так, например, аксиоматическая геометрия бессильна показать нам, что представляет собой пространство реального мира (точно так же, как «чистая экономика» никогда не исчерпает сложности конкретных экономических фактов). Аксиоматика не могла бы заменить соответствующую ей индуктивную науку по той основной причине, что ее собственная чистота является лишь пределом, который полностью никогда не достигается. Как это говорил еще Гонсет, в самой очищенной схеме всегда сохраняется интуитивный остаток (и точно так же во всякую интуицию входит уже элемент схематизации). Уже одного этого вывода достаточно для того, чтобы стало совершенно ясно, почему аксиоматика никогда не сможет «образовать фундамента» экспериментальной науки и почему всякой аксиоматике может соответствовать экспериментальная паука (соответственно, конечно, и наоборот). (С. 86-87)
Всякое знание, независимо от того, является ли оно научным или просто вытекающим из здравого смысла, предполагает — явно или скрыто — систему принципов сохранения. Нет необходимости напоминать о том, каким образом введение принципа сохранения прямолинейного и равномерного движения (принцип инерции) в области экспериментальных наук сделало возможным развитие современной физики, или о том, как постулат сохранения веса дал Лавуазье возможность противопоставить рациональную химию качественной алхимии. Что касается здравого смысла, то нет нужды специально подчеркивать применение в нем принципа тождества: по мере того как всякое мышление стремится организовать систему понятий, оно вынуждено вводить известное постоянство в свои определения. Более того, начиная уже с восприятия — этой чрезвычайно существенной схемы постоянного предмета, воспроизведению генезиса которой была посвящена другая наша работа, — происходит выработка подлинного принципа сохранения, правда, в наиболее элементарной его форме. То, что сохранение, являющееся формальным условием всякого эксперимента, как и любого рассуждения, не исчерпывает ни представления реальности, ни динамизма интеллектуального построения — это другой вопрос: в данном случае мы просто утверждаем, что сохранение составляет необходимое условие всякой рациональной деятельности, и не занимаемся вопросом о том, достаточно ли этого условия для понимания этой деятельности или для выражения природы реальности.
Если признать справедливым сказанное выше, то очевидно, что арифметическое мышление отнюдь не является исключением из общего правила. Множество (или совокупность) постигается лишь тогда, когда его общее значение остается неизменным вне зависимости от изменений, внесенных в отношение между элементами. Операция внутри одного и того же множества, которые называются «группой перестановок», доказывает как раз возможность совершения любой перестановки элементов при сохранении инвариантности общей «мощности» множества. Число также может быть постигнуто интеллектом лишь в той мере, в какой оно остается тождественным самому себе, независимо от размещения составляющих его единиц: именно это свойство и называется «инвариантностью» числа. Такая непрерывная величина, как длина или объем, может быть использована в деятельности разума лишь в той мере, в какой она образует постоянное целое, независимо от возможных комбинаций в размещении ее частей. Короче говоря, идет ли речь о непрерывных или дискретных величинах, о воспринимаемых количественных аспектах чувственного мира или о множествах и числах, постигаемых мышлением, идет ли речь об элементарном контакте числовой деятельности с экспериментом или о самой чистой аксиоматизации любого наглядного содержания, всегда и всюду сохранение чего-либо постулируется разумом в качестве необходимого условия всякого математического мышления.