Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

а) Получите в алгебраической форме:

— ускорение планеты;

— силу, необходимую, чтобы придать планете ускорение;

— силу гравитационного притяжения, если она подчиняется закону тяготения Ньютона;

— скорость v планеты, выраженную через величины R и Т.

б) Доказательство

— напишите полученное Ньютоном алгебраическое уравнение, согласно которому искомая сила, необходимая, чтобы придать планете ускорение, равна гравитационному притяжению;

— исключите из итого уравнения v, пользуясь соотношением, выраженным через величины R и Т;

— перенесите величина, R и Т в левую часть уравнения, а все остальное в правую часть, получив таким путем новое уравнение;

— найдете ли вы R³/T² в левой части нового уравнения? (Если нет, проверьте свои выкладки.) Установили ли вы, что правая часть одинакова для всех планет, что она постоянна и не содержит m, R, Т?

— будет ли это новое уравнение справедливо с той же самой правой частью для других планет с разными массами, орбитами, периодами обращения, но с тем же Солнцем? Следует ли из соображений Ньютона третий закон Кеплера?

Задача 3. Второй закон Кеплера (Закон «равных площадей»)

а) Что утверждает этот закон? (Приведите чертеж.)

б) Ньютон показал, что этот закон должен выполняться для любого движения планет, если…(?)

в) Просмотрите геометрическое доказательство, сделанное Ньютоном, затем запишите ваш вариант доказательства и дайте рисунок. (Сделайте лучше несколько четких рисунков вместо одного, слишком подробного.)

Задача 4. Относительные массы планет

а) Используя законы движения Ньютона, a = v²/R и закон всемирного тяготения F = GM₁M₂/d², покажите, как можно получить на основе астрономических измерений отношение (масса Юпитера)/(масса Солнца). Оцените конечный результат, не ссылайтесь на алгебраический результат.

б) Определите приближенно[106] это отношение (см. данные ниже).

в) Сделайте аналогичные оценки отношения (масса Земли)/(масса Солнца).

г) — Из экспериментов, подобных опытам Кавендиша, можно оценить мaccу Земли. Ее величина около 6,6∙10²¹ т. Вычислите приблизительно из приведенного выше отношения массу Солнца в тоннах.

Данные (некоторые из них могут не потребоваться).

Радиусы орбит планет (см. табл. в гл. 18).

Продолжительность «года» планет (см. табл. в гл. 18).

Данные о спутниках Юпитера (см. гл. 19). (Не пользуйтесь величинами радиусов орбит в единицах радиуса Юпитера, а используйте величины в милях. Времена даны в часах, преобразуйте их в единицы, которые вы использовали в других вычислениях.)

Данные о Земле:

Собственный радиус ~ 6300 км.

Время обращения вокруг оси 24 часа.

Радиус орбиты ~150 млн. км.

1 год ~= 365 дней ~= 3∙10⁷ сек.

Данные о Луне:

Радиус орбиты ~ 60 земных радиусов.

Собственный радиус ~1600 км.

1 месяц = 27,3 дня. (Это абсолютный период обращения Луны по отношению к звездам.)

Задача 5. Искусственные спутники

а) Предположим, что спутник Земли описывает круговую орбиту на высоте 6300 км чад поверхностью Земли, так что он находится на расстоянии 12 600 км от, центра Земли. Используя свои знания о движении планет, оцените время, которое требуется спутнику на один оборот по орбите.

Дайте ответ без сокращений, приведенный к округленному числу, выраженному в часах, или минутах, или днях, или годах. (Используйте любые данные, полученные в предыдущих задачах. Величина G вам не потребуется.)

б) Инженеры телевидения предлагают запустить спутник, который мог бы ретранслировать коротковолновые передачи, обеспечивая Западное побережье программами из Нью-Йорка. Им хотелось бы, чтобы спутник стоял на месте, находясь, например, все время над Чикаго, не используя двигателей для поддержания заданного положения.

106

В задачах требуется очень приблизительный результат, дающий лишь общее понятие об относительных массах или величинах некоторых сил; точных арифметических вычислений не требуется, поэтому советуем учесть следующее:

A. Пользуйтесь алгебраическими выкладками до тех пор, пока это возможно.

Б. После этого подставьте арифметические величины, не сокращая их, и представьте результат со всеми коэффициентами. (Не сокращайте этот первый результат, а оставьте его нетронутым на тот случай, если вам понадобится к нему вернуться или потребуется его проверить.)

B. Перепишите «результат» пункта Б и сделайте грубую аппроксимацию, чтобы получить весьма приближенный ответ. Ниже даны три схемы аппроксимации:

а) Используйте грубые арифметические подсчеты. Это даст удовлетворительные результаты быстрее, нежели что-либо другое, если не считать специальных приемов и опыта. (Сведите все данные к степеням 2 или 10, а затем сокращайте. Помните: 2¹⁰ ~= 10³.)

б) Пользуйтесь таблицами логарифмов. Достаточны логарифмы с двумя десятичными знаками,

в) Используйте логарифмическую линейку. Делайте грубые прикидки для определения первого десятичного знака.

Если ваш результат больше или меньше верного в 1000 раз, то он бесполезен, если же только на 40 % за счет неточности в выкладках, то он дает полезные данные.