— A‾B‾. Тогда
Дуга/Δt = Хорда/Δt, или /Δt = A‾B‾/Δt в пределе.
Следовательно,
Ускорение = Δv/Δt = (v/R)∙A‾B‾/Δt = (v/R)∙(v), в пределе (v/R)∙/Δt
так как /Δt есть v. Тогда ускорение Δv/Δt = (v/R)∙(v) или v2/R
или (Скорость на орбите)2/(Радиус орбиты)
Это соотношение ускорение — v2/R очень важно. Мы будем использовать его в теории движения планет, при изучении движения электронов, при изготовлении масс-спектрографов и конструировании циклотронов — везде, где мы сталкиваемся с движением по орбите. Было бы очень важно повторить для себя вывод этого соотношения и поверить в его значение. Поняв, как это делается, вы можете сократить вывод, ограничившись коротким объяснением, двумя эскизами и несколькими алгебраическими выражениями.
Два важных вопроса
Полученный нами результат, ускорение = v2/R, вызывает два вопроса:
1. Каким образом может движущееся тело иметь ускорение, но не двигаться быстрее или же не перемещаться к центру круга?
2. Не нужна ли сила для ускорения тела в направлении его движения в соответствии с соотношением F = M∙a. He действует t ли на массу М, движущуюся по окружности, сила М∙v2/R.
Оба эти вопроса являются выражением тех, реальных трудностей, которые возникли сразу же, как только люди оказались перед необходимостью объяснить движение планет по орбитам. Ответ на вопрос 2 следует из эксперимента: «Да, каждое реальное движение по окружности требует наличия реальной силы, направленной внутрь, a М∙v2/R есть величина этой силы». Чтобы тело могло двигаться по окружности, на него должна действовать сила, направленная к центру. Такая сила может осуществляться с помощью какого-либо реального внешнего воздействия — веревки, пружины или силы тяготения[82].
Пример А
Вращайте камень, привязанный к веревке (фиг. 107). Вы тянете за веревку, а веревка тянет камень к центру. Веревка буксирует камень и сообщает ему некоторое количество движения в новом направлении.
Представим себе, что веревка делает серию слабых рывков; рывок — и скорость изменила свое направление, еще рывок — снова изменение, еще, еще и так вдоль всей окружности. Если вы отпустите веревку, рывки прекратятся, прекратится и изменение скорости, а камень будет продолжать двигаться по касательной. (Сказать, что «камень улетает по касательной» — значит ввести в заблуждение).
Вращение камня на веревке по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, под действием пружины или веса обеспечивает наличие внутренней силы, которую можно измерить. Ниже описаны 3 опыта. Любой из них можно использовать для проверки справедливости соотношения F = M∙v2/R.
Фиг. 107. Вращение камня на веревке.
Опыт 1. Металлический шар, связанный шнуром со стальной пружиной, равномерно вращается по кругу (фиг. 108).
Пружина растягивается до некоторых пор, а затем длина R шнура + пружины остается постоянной во время вращения. Движение хронометрируется и затем рассчитывается величина силы М∙v2/R, направленной внутрь. Эта сила, фактически действующая со стороны пружины, определяется в отдельном эксперименте путем навешивания нагрузки на пружину.
82
Люди иногда думают, что движение по окружности