Недовольство стеллингизмом стало нарастать даже в верхах математических кругов. Британский математик Джеймс Джозеф Сильвестр, о геометрии и алгебре (а также отвращении к отупляющей мертвенности британской академической науки) которого мы еще поговорим, считал, что Евклида нужно спрятать «подальше от школьников», а геометрию преподавать в связке с физикой, делая акцент на геометрию движения, дополняющую статические формы Евклида. «Именно живого интереса[45] к предмету, – писал Сильвестр, – так не хватает нашим традиционным средневековым методам преподавания. Во Франции, Германии и Италии – везде, где я был на континенте, – разум воздействует непосредственно на разум: тем способом, который неизвестен застывшей формалистике наших академических учреждений».
Мы уже не заставляем школьников заучивать и повторять наизусть Евклида. В конце XIX века в учебники стали включать упражнения, в которых ученикам предлагалось строить собственные доказательства геометрических утверждений. В 1893 году эти перемены узаконил сформированный в 1892-м Комитет десяти, возглавляемый президентом Гарварда Чарльзом Элиотом. Комитету было поручено рационализировать и стандартизировать обучение в американских средних школах. По его утверждению, задача геометрии в школе – прививать ученикам навыки строгого дедуктивного мышления. Эта идея прижилась. В ходе опроса пятисот американских учителей об их задачах в преподавании геометрии, проведенного в 1950 году[46], самым популярным был ответ: «Развить навыки ясного мышления и точного выражения», который почти вдвое превысил вариант: «Дать знание фактов и принципов геометрии». Иными словами, мы здесь не для того, чтобы пичкать учеников всеми известными фактами о треугольниках, а для того, чтобы развивать в них умственную дисциплину, позволяющую добывать эти факты из первоначальных принципов. Школа для маленьких Линкольнов.
А для чего нужна эта умственная дисциплина? Может быть, на случай, если в какой-то момент будущей жизни им понадобится окончательно и неопровержимо доказать, что сумма внешних углов многоугольника равна 360 градусам? Я все жду, когда же это произойдет, но пока безрезультатно.
Основная причина обучения детей формулированию доказательств вовсе не в том, что мир полон доказательств, а в том, что мир полон недоказательств, и взрослым людям нужно знать разницу. Трудно согласиться с недоказательством, если вы реально знакомы с подлинником.
Линкольн понимал эту разницу. Его друг и коллега-юрист Генри Клей Уитни вспоминал: «Много раз я видел[47], как он срывает маску с заблуждения и стыдит как заблуждение, так и его автора». Мы постоянно встречаемся с недоказательствами, рядящимися в одежду доказательств, и без должного внимания с нашей стороны они часто обходят нашу защиту. Существуют подсказки, которые вы можете высматривать. Когда в математике какой-то автор начинает фразу со слов «Очевидно, что», на самом деле он говорит: «Мне это кажется очевидным. Вероятно, следовало бы это проверить, но я немного запутался в процессе и потому решил просто заявить, что это очевидно». У газетных аналитиков аналогичная фраза начинается со слов: «Конечно, все мы согласны с тем, что». Всякий раз, сталкиваясь с подобным, вы ни в коем случае не должны верить, что все согласны с дальнейшим. Вас просят трактовать нечто как аксиому, но если мы что-то и обязаны выучить из истории геометрии, так это то, что нельзя включать аксиому в свою книгу, пока она не доказала свою реальную ценность.
45
Именно живого интереса к предмету: James J. Sylvester, “A Plea for the Mathematician,” Nature 1 (1870): 261–63.
47
Много раз я видел: H. C. Whitney, Lincoln the Citizen (Baker & Taylor, 1908), 177. Если честно, то пример заблуждения, который Уитни приводит сразу после этого (он включает вопрос, можно ли сказать, что у корпорации есть душа), не кажется мне неудачей дедуктивной логики.