Те места этого отрывка, которые я выделил курсивом, кажутся мне блестящей характеристикой некоторых наиболее тонких и неуловимых черт разума вообще. Харди заключает, с некоторой грустью:
(В его трудах) не было той простоты и неизбежности, которая отличает величайшие математические открытия; они были бы более великими, если бы они были менее странными. Но зато его работы имели нечто, чего не может отрицать никто — они были глубоко и непобедимо оригинальны. Возможно, что он был бы более великим математиком, если бы его «поймали» и «приручили» в юности; он открыл бы много нового и, без сомнения, более важного. С другой стороны, он был бы менее похож на Рамануяна и более — на европейского профессора, и потеря от этого могла быть больше, чем выигрыш.[55]
По тому, как романтично говорит Харди о Рамануяне, видно, какое уважение он питал к своему индийскому коллеге.
Рис. 105. Шриниваса Рамануян и одна из его странных индийских мелодий.
Существует еще один тип людей, чьи математические способности кажутся необъяснимыми с рациональной точки зрения — так называемые «гениальные идиоты», могущие производить сложные расчеты в уме (или где бы там ни было) с быстротой молнии. Иоганн Мартин Захарий Дэйз, живший с 1824 по 1861 и работавший для нескольких европейских правительств, был выдающимся примером. Он не только мог перемножить в уме два стозначных числа, но также имел удивительное чувство количества. Он мог сказать, не считая, сколько овец на поле, сколько слов в предложении и так далее, приблизительно до 30 — в отличие от большинства из нас, имеющих это чувство примерно до 6. При этом Дэйз вовсе не был идиотом…
Я не буду пересказывать здесь множество интересных историй о «людях-калькуляторах», поскольку моя цель иная. Но мне кажется важным опровергнуть мнение, что они совершают свои расчеты при помощи неких таинственных, не поддающихся анализу методов. Хотя часто вычислительные способности таких гениев намного превосходят их способности объяснять свои результаты, иногда среди них появляется человек, наделенный и другими талантами. Из наблюдений таких людей и из работ психологов можно сделать заключение, что в голове людей-калькуляторов не происходит ничего сверхъестественного — просто их мозг совершает промежуточные действия очень быстро и уверенно, подобно умелому атлету, быстро и грациозно делающему сложные упражнения. Свои ответы они получают не благодаря мгновенному озарению (хотя субъективно некоторым из них может казаться именно так), но, как и все мы, при помощи последовательных вычислений — то есть при помощи Флупо- или Блупоподобных действий.
Одним из наиболее очевидных подтверждений того, что не существует никакого мистического «прямого телефона к Богу», является тот факт, что, по мере того как числа становятся больше, ответы становятся медленнее. Если бы ответы исходили от Бога или некоего «оракула», этого бы не происходило. Было бы интересно составить некий график, соотносящий время раздумий «человека-калькулятора» с величиной данных ему чисел и количеством требуемых операций, и вычислить по нему алгоритмы этого процесса.
Это вплотную подводит нас к усиленной стандартной версии Тезиса Чёрча-Тюринга:
ТЕЗИС ЧЁРЧА-ТЮРИНГА, ВЕРСИЯ ИЗОМОРФИЗМА: Предположим, что существует метод, при помощи которого разумное существо может разделять числа на два класса. Предположим также, что этот метод всегда приводит к ответу за конечный отрезок времени и что этот ответ — всегда один и тот же для одного и того же числа. Тогда существует некая конечная программа на Флупе (то есть, некая общерекурсивная функция), которая будет давать точно такие же ответы, как и разумное существо. Более того, мыслительный процесс и эта программа Флупа будут изоморфны в том смысле, что на каком-то уровне будет существовать соответствие между операциями выполняемыми компьютером и мозгом.
Заметьте, что здесь не только усилено заключение, но и опущено условие сообщаемости, характеризовавшее более слабую Коллективную Версию. Давайте рассмотрим эту смелую версию Тезиса.
Эта версия утверждает, что когда человеческое существо что-то вычисляет, его умственная деятельность может быть изоморфно отображена в некой программе Флупа. Это не означает, разумеется, что в мозгу действует настоящая программа Флупа, написанная на языке Флуп с командами НАЧАЛО КОНЕЦ ПРЕРВАТЬ и так далее. Это значит только то, что операции выполняются в том же порядке в каком они могли бы выполняться в программе Флупа, и что логическая структура вычислений может быть отображена во Флупе.
Чтобы эта идея имела смысл, мы должны различать уровни как в компьютере, так и в мозгу — иначе эта мысль может показаться совершенной чепухой. Предположительно, операции вычисления в наших головах совершаются на высшем уровне, опирающемся на низшие уровни и, в конечном счете, на «аппаратуру». Таким образом, говоря об изоморфизме, мы подразумеваем, что высший уровень может быть изолирован и что мы можем обсуждать происходящие там процессы независимо от того, что делается на других уровнях — и затем проимитировать этот высший уровень в программе Флупа. Точнее, наше предположение заключается в том что существуют некие блоки мысленной «программы», которые играют роль математических построений и активируются таким образом, который может быть в точности отображен в программе Флупа (см. рис. 106). Эти блоки существуют благодаря инфраструктуре мозга, которую мы обсуждали в главах ХI и XII, а также в «Прелюдии» и в «Муравьиной фуге». Мы не предполагаем изоморфной деятельности на низших уровнях мозга и компьютера (нейроны и биты).
Если не букву, то дух Версии Изоморфизма можно передать, говоря, что гениальный идиот, вычисляя, скажем логарифм π, проделывает операции, изоморфные операциям карманного калькулятора, решающего ту же задачу. Изоморфизм существует на уровне арифметических действий, а не на уровне нейронов мозга и электрических цепей калькулятора. (Разумеется, при решении любой задачи можно следовать различными путями — но, в принципе, если не человек, то карманный калькулятор может быть запрограммирован вычислить ответ каким-то определенным путем.)
Рис. 106. Поведение натуральных чисел может быть представлено в человеческом мозгу или в компьютерной программе. Эти два представления могут быть затем отображены друг на друга на соответствующем абстрактном уровне.
Все это кажется убедительным, когда мы говорим о теории чисел, поскольку события там происходят в весьма ограниченном и чистом мире. Его границы, правила и обитатели определены четко, словно в хорошо построенном лабиринте. Такой мир намного менее сложен, чем открытый и неопределенный мир, в котором мы обитаем. Будучи поставлена, задача теории чисел полностью самодостаточна; задача реального мира, напротив, никогда не может быть с уверенностью изолирована от воздействия этого мира. Например, чтобы заменить перегоревшую лампочку, вам может понадобиться подвинуть помойное ведро; при этом вы можете нечаянно толкнуть стоящий поблизости столик и уронить на пол лежавшие на нем таблетки; после чего вам придется подмести пол, чтобы ваша собака их не съела… и так далее, и тому подобное. Таблетки, помойное ведро, собака и электрическая лампочка весьма мало соотносятся между собой, но здесь, благодаря некоему повседневному событию, они оказались в тесной связи. И невозможно предсказать, какие еще предметы оказались бы вовлечены в эти отношения, если бы события немного изменились. С другой стороны, решая задачу теории чисел, вам никогда не придется иметь дело с такими посторонними предметами, как таблетки, собаки, помойные ведра и щетки. (Разумеется, ваше интимное знакомство с означенными предметами может сослужить вам службу, когда вы пытаетесь представить себе задачу в форме геометрических фигур — но это совершенно другое дело.)
Реальный мир так сложен, что трудно вообразить себе маленький карманный калькулятор, который мог бы ответить на ваши вопросы путем нажатия кнопок с надписями «собака», «помойное ведро», «лампочка» и так далее. На самом деле, до сих пор очень трудно заставить даже большой и быстрый компьютер отвечать на вопросы о ситуациях, которые кажутся нам весьма простыми. Кажемся, что для того, чтобы компьютер «понял» задачу, необходимы много знаний и умение соотносить их друг с другом должным образом. Процессы мышления можно сравнить с деревом, чья видимая часть твердо стоит на земле, но, при этом зависит от невидимых корней, протягивающихся далеко под землей, поддерживающих и питающих дерево. В данном случае под корнями понимаются сложные процессы, происходящие на подсознательных уровнях — процессы, результаты которых управляют нашим мышлением, но о которых мы сами не подозреваем. Они работают как «пусковые механизмы символов», которые мы обсуждали в главах XI и XII.