"Я недавно встретил человека, который сказал мне, что не верит даже в существование минус единицы, так как из этого следует существование квадратного корня из нее", — рассказывал Э. Ч. Титчмарш, современный английский историк математики. Подобная же история случилась и с кеплеровским звездчатым додекаэдром.
Открыв этот "колючий" многогранник, Кеплер так и назвал его "еж" и поместил в свою удивительную по фантастичности идей книгу "Мировая гармония", где космогонические и астрономические вопросы решались с помощью соотношений, найденных в музыке и в формах правильных многогранников и многоугольников[9]. Но ученые отказывались считать кеплеровского ежа многогранником.
У этого упрямства была своя логика и своя предыстория. Столетиями математики не признавали за всякого рода звездами права называться многоугольниками из-за того, что стороны их пересекаются. А тут — геометрическое тело, гранями которого служат пятиконечные звезды, да еще вдобавок пересекающиеся! Какой же это многогранник?! Людвиг Шлефли, который был уже настолько свободомыслен — все-таки XIX век! — что не изгонял геометрическое тело из семейства многогранников только за то, что его грани самопересекаются, тем не менее оставался непреклонным, как только речь заходила про малый звездчатый додекаэдр. Довод его был прост и весом: это кеплеровское животное не подчиняется формуле Эйлера! Его колючки образованы двенадцатью гранями, тридцатью ребрами и двенадцатью вершинами, и, следовательно, В+Г-Р вовсе не равняется двойке.
Шлефли был и прав, и не прав. Конечно же, геометрический ежик не настолько уж колюч, чтобы восстать против непогрешимой формулы. Надо только не считать, что он образован двенадцатью пересекающимися звездчатыми гранями, а взглянуть на него как на простое, честное геометрическое тело, составленное из 60 треугольников, имеющее 90 ребер и 32 вершины[10].
Тогда В+Г-Р = 32+60-90 равно, как и положено, 2. Но зато тогда к этому многограннику неприменимо слово "правильный" — ведь грани его теперь не равносторонние, а всего лишь равнобедренные треугольники.
Красоте малого звездчатого додекаэдра находится на удивление мало места в нашей жизни: он служит разве что светильником, да и то очень редко. Даже изготовители елочных украшений и то не додумались сделать трехмерную звезду, а ею как раз и оказался бы этот многогранник.
20
И при том его еще и не надо было бы золотить — во всяком случае для геометров: золотое отношение, "божественная" пропорция связывает любой "брусок" каркаса обычного додекаэдра с тем же "бруском", но продолженным до точки встречи в вершине "колючки" кеплеровского ежа. Но Кеплер не додумался, что у полученной им фигуры есть двойник. Это увидел наш старый знакомый Август Фердинанд Мёбиус, а сам многогранник — он называется "большой додекаэдр" — построил французский геометр Луи Пуансо спустя без малого двести лет после кеплеровских звездчатых фигур. Если эти две удивительно красивые фигуры расположить рядом, то станет видна их "взаимность" (25, 26).
О двух других телах Кеплера-Пуансо (большом звездчатом додекаэдре — 27 и большом икосаэдре — 28) тоже можно было бы сказать немало интересного. Но, может быть, лучше просто полюбоваться на них и подумать: ведь удивительное дело, почему и в этой паре, "увидев" одну фигуру, Кеплер честь открытия второй оставил Пуансо?
А теперь, для отдыха глаз и души, еще раз взгляните на гравюру Маурица Эсхера "Порядок и хаос". Вот что пишет о ней сам художник: "Звездчатый додекаэдр, символ математической красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей". Мы уже воспользовались одной из них — веревкой, когда говорили о головоломке сэра Уильяма Гамильтона. Тогда же нам понадобился и сам додекаэдр, но только не звездчатый, а обыкновенный — мы позаимствовали его с другой гравюры того же автора — "Рептилии". Посмотрите на нее внимательно, и вам представится случай полюбоваться еще одной мозаикой, составленной на этот раз из одних крокодилов, поверх которой наложена обычная, шестигранная.
9
Полное название этой книги, вышедшей в 1619 году, — "О гармонии мирл пять книг". Разными авторами оно переводится как "Гармония мира" и как "О гармонии мира".
10
На каждой из двенадцати пятиугольных граней "обычного" Додекаэдра возводится по пирамиде, следовательно, всего граней становится 5*12 = 60. Каждая пирамида добавит додекаэдру по пять ребер — всего их станет 30+(5*12) = 90. И, наконец, любая пирамида увенчана вершиной, поэтому к двадцати вершинам додекаэдра добавится еще двенадцать, итого 32. Все это хорошо видно на гравюре "Силы гравитации".