1 2 материальную точку
dr d**2 r Ф = Ф (m|, m|…, r, — , ----…). (14)
1 2 dt dt**2
Однако при учете свойств инерциальной системы это выражение сильно упрощается. Действительно, в общем случае аргументы r и v = dr/dt исключаются вследствие эквивалентности инерциальных систем. Всегда можно выбрать систему, в которой в данный момент v=0. Производные высших порядков: d**3 r/dt**3, d**4 r/dt**4…. в общем виде также не могут определять движение, поскольку в этом случае, помимо выделенного класса систем отсчета (соответствующего v=const), существовали бы и другие привилегированные системы отсчета, удовлетворяющие условиям a = d**2 r/dt**2=const или b = d**3 r/dt**3=const и т. д. Поскольку рассматривается материальная точка, то естественно допустить, что она характеризуется единым параметром m=m|. Поэтому (14) можно
1 записать в форме
d**2 r Ф = Ф (m, — --). (15)
dt**2
Величина m — внутренняя характеристика тела, вторая производная d**2 r/dt**2 определяется взаиморасположением тела отсчета и материальной точки. В рамках ньютоновской механики обе величины абсолютно независимы. Поэтому естественно предположить, что они входят в выражение (14) в виде произведения
d**2 r Ф = Ф (m —---). (16)
dt**2
Назовем силой функцию F, обратную функции Ф, тогда получаем основной закон
d**2 r F = m —---. (17)
dt**2[7]
Из свойств пространства вытекают характеристики дальнодействующих сил, составляющих основу классической механики.
Назовем дальнодействующими (макроскопическими) силами такие воздействия, которые в статическом случае (т. е. когда тело отсчета неподвижно) можно характеризовать силовыми линиями, начинающимися в теле отсчета, но не изменяющимися в пустом пространстве. Иными словами, в пустом пространстве силовые линии — прямые. Если же силовые пересекают материальную точку, то они взаимодействуют с ней, прекращая свое существование.
Заметим, что «прямолинейность» силовых линий нетривиальное допущение, которое характерно исключительно для дальнодействующих сил. Для микроскопических взаимодействий силовые линии либо запутываются, взаимодействую друг с другом, утрачивая прямолинейность (сильное взаимодействие), либо обрываются (слабое взаимодействие). На современном языке необходимыми и достаточными условиями дальнодействия сил являются неравенства
ALPHA << 1, m| = 0,
c
где ALPHA — безразмерная константа взаимодействия, m|
c массам обменной частицы (см. Дополнение). Далее в этом разделе ограничимся исключительно дальнодействующими макроскопическими силами.
Поскольку силовое воздействие является точечным и осуществляется в месте расположения материальной точки, то единственная характеристика сил, обусловленная этим расположением, есть плотность d силовых линий. Поэтому сила, действующая на материальную точку, пропорциональна плотности силовых линий: F~d. Но в силу изотропии и однородности пространства полное число силовых линий неизменно, а плотность силовых линий неизменно, а плотность силовых линий макроскопического взаимодействия обратно пропорциональна площади сферы с центром, расположенным в начале координат (теле отсчета). Эта сфера проходит через материальную точку. поскольку площадь сферы в трехмерном евклидовом пространстве пропорциональна r**2 (r — расстояние между телом отсчета и материальной точкой), то
F~1/r**2. (19)
Мы получили выражение для макроскопических сил: силы Кулона и силы Ньютона.
Таким образом, оба закона — следствие особых свойств трехмерного евклидова пространства.
Следовательно, как механика Ньютона, так и выражение для статических (классических) сил зависят от свойств пространства. Подчеркнем, что, несмотря на демонстрацию тесной связи основ динамики и свойств пространства, нельзя полностью свести физику к логическим умозаключениям, основанным не геометрии. Разумеется, лишь опыт может позволить заключить о макроскопичности данного типа сил. Можно (как это происходило в действительности) на опыте измерить зависимость (19), на более современном уровне установить соотношения (18), которые также являются следствием экспериментов.
Однако общие соотношения отражают свойства пространства, и наша цель — демонстрация тесной связи этих свойств и простейшей динамики.
4. ПРОСТРАНСТВО СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ(ПРОСТРАНСТВО МИНКОВСКОГО)
Теории относительности посвящено огромное число книг, написанных на разных уровнях. Поэтому нецелесообразно представлять здесь систематическое изложение этой теории. Идея этого и следующего разделов несколько скромнее: очертить лаконично идею взаимосвязи геометрии и динамики, обусловленную созданием теории относительности, которая изменила сам стиль этой взаимосвязи. Ранее (в ньютоновской механике) эта взаимосвязь проявлялась как бы неявно: в определении инерциальной системы, мельком упоминалась при выводу законов сохранения и т. д. После утверждения теории относительности единство геометрии и динамики стало краеугольным камнем физики.
7
Строго говоря, здесь пренебрегается возможным вращением системы. Обобщение рассуждений, учитывающих вращение, не представляет трудностей.