Теперь спросим себя: можно ли утверждать существование раздела Дедекинда и, стало быть, можно ли утверждать непрерывность вещественных чисел, если мы не будем знать ничего о количественном значении чисел а и b, входящих в ту или иную область чисел А и ΒΊ Совершенно понятно [178], что общая линия, символизирующая нарастание вещественных чисел при передвижении слева направо, должна быть здесь еще раз перекрыта новым слоем исчисления, который бы показал, что реальные количественные значения отдельных ее точек могут приближаться друг к другу как угодно близко, вплоть до полного слияния. Стало быть, оба основные момента, входящие в понятие непрерывности, здесь налицо — алогическое становление и определенным образом уравновешенная противоположность внутреннего и внешнего.
То же самое необходимо сказать и о той теореме, т. н. теореме включения, которая является прямым выводом из аксиомы непрерывности. Пусть нам даны интервалы прямой так, что они оказываются вложенными один в другой, причем длины этих интервалов уменьшаются как угодно много и становятся меньше всякой любой заданной величины. В таком случае и возникает теорема включения: существует всегда одна, и только одна, точка, которая принадлежит всем интервалам одного включения. Интервалы включения стремятся к этой точке. Здесь еще виднее то перекрытие, которому подвергается данная линия, когда мы укладываем на ней все меньшие и меньшие интервалы. Из этого перекрытия ясно и само доказательство этой теоремы. Доказательство это заключается в том, что если бы было две таких точки включения, а не одна, то длина всех интервалов не могла бы быть меньше расстояния между этими точками или в крайнем случае равнялась бы ему, а мы условились, что длина интервала может стать меньше любой заданной величины. Все время, значит, идет разговор, во–первых, об определенной линии, а во–вторых, о ее новом перекрытии, и, в–третьих, устанавливается определенное отношение между тем и другим. Первое, конечно, есть внутренний остов для второго, являющегося чем–то внешним и, отвлеченно рассуждая, даже необязательным; третье же есть специальное тождество первого и второго. Все три момента разыгрываются, кроме того, всецело в сфере чисто алогического становления (в данном случае бесконечно дробящихся интервалов).
6. Три категории — постоянная величина, переменная величина и непрерывная величина — освещены нами достаточно для наших целей. Все они определены как синтетическое тождество внутреннего числового содержания и его внешнего фактического осуществления, в чем их полная аналогия с иррациональным числом. И все они являются не чем иным, как стихией алогически становящейся отрицательности, рассмотренной в свете иррационального числа, или — иррациональным числом, рассмотренным в свете алогически становящейся отрицательности. Наметили мы и между этими тремя категориями определенное взаимоотношение. Они связаны между собою как диалектическая триада, в которой постоянная величина, являясь тезисом, полагает собою упомянутое тождество как «неподвижное», т. е. как различно–самотождественное бытие, переменная же, являясь антитезисом, дает это тождество как подвижное инобытие, точнее, как устойчиво подвижное инобытие; и наконец, непрерывная величина, являясь синтезом бытия и инобытия в некоем новом становлении, утверждает общую определенную единичность внутренней дробности и внешней отрицательности как синтез постоянного и переменного. В точных диалектических формулировках эти три категории имеют следующий вид. Общей сферой для них является алогически становящаяся отрицательность, рассмотренная как иррациональное число, т. е. как тождество внутренней дробности и внешнего алогического становления, или, наоборот, — это самое тождество, рассмотренное как алогически становящаяся отрицательность. Отсюда и — наши формулы.
Величина [постоянная ] есть тождество внутренней дробности и внешней алогически становящейся отрицательности, данное как алогически становящаяся отрицательность— в своем (неподвижном) самотождественном различии.
Величина [переменная ] есть тождество внутренней дробности и внешней алогически становящейся отрицательности, данное как алогически становящаяся отрицательность в своем (подвижном покое].
Величина [непрерывная) есть тождество внутренней дробности и внешней алогической отрицательности, данное как новое алогическое [становление]. Или: непрерывная величина есть тождество внутренней дробности и внешней алогической отрицательности, данное как синтез постоянной и переменной величин.