Естественно возникает потребность объединить эти две области— величин (чисел) и функций. Тут–то и возникают понятия производной, дифференциала и интеграла.
7. Производная. Итак, отныне мы находимся всецело в области функций. Кроме того, эти функции мы пополняем содержанием, основанным на понятии бесконечно–малого. Следовательно, имеется независимое переменное, погруженное[227] в стихию бесконечно–малого становления, и имеется зависимое от него переменное, тоже, очевидно, как–то связанное с процессом бесконечно малого становления. И возникает вопрос: что же делается с этим зависимым переменным, с функцией, и какую форму принимает это отношение аргумента к функции. Когда берется функция y=ƒ(x) то ясно, в каком отношении находятся χ и Пусть имеется у=х2+1: ясно, что нужно сделать с jc, чтобы получить у. Но вот χ ушел в становление, погрузился в бесконечный процесс стремления, ушел в бесконечную даль, и—спрашивается: что же сделается с зависимым от него у, в каком положении очутится этот становящийся χ к становящемуся у? С самого начала ясно, что это будет совершенно иным отношением, чем то отношение, в котором находились между собой хну, когда они покоились на месте, были просто арифметическими и алгебраическими величинами и не погружались в стихию алогического становления. Рассмотрим теперь, что же это за отношение и что тут нового по сравнению со статическим значением величин.
Итак, изменяется аргумент, изменяется в зависимости от него и функция. Употребляя традиционные обозначения математического анализа, мы получим следующее. Если x —аргумент, ∆х будет приращением аргумента x. В зависимости от этого функция у тоже будет нарастать; обозначим приращение функции через ∆у. Чтобы узнать, какой вид примет наращение функции, возьмем приращенную функцию ƒ(x+∆x) и вычтем из нее первоначальную функцию y=ƒ(x). Получаем: ƒ(x+∆x) — ƒ(x). Это есть то наращение, которое происходит в функции, когда получается наращение аргумента ∆х Следовательно, если
y=ƒ(x)
ТО
∆y=ƒ(x+∆x) — ƒ(x)
и, беря отношение обеих частей этого равенства к Δχ, мы получаем
Это и есть математческое выражение того нового отношения, в которое вступают χ и у, когда они берутся не сами по себе, не статически, но когда они погружаются в процесс становления, т. е. начинают нарастать или убывать. Это рассуждение (и обозначение) обычно еще не вполне достаточно, и требуется его существенно дополнить в одном пункте.
Именно, нас ведь интересуют не приращения вообще, но бесконечно–малые приращения и не процесс вообще, но именно алогическое становление. Мы раньше уже видели, что в понятии бесконечно–малого дано не просто изменение величины, но изменение самого изменения, становление изменения, почему оно не просто налично тут как таковое, но оно дает все меньшие и меньшие результаты, оно все меньше и меньше оказывается изменением. Сама категория изменения тут, очевидно, вовлечена в становление.
И только при этом условии переменная величина может быть бесконечно–малой. Она должна иметь своим пределом нуль—только тогда она действительно бесконечно мала.
Применяя это к нашему рассуждению, мы должны ∆х считать бесконечно–малым. ∆х должно стремиться к нулю, оно должно иметь своим пределом нуль. Но тогда существенно меняется вся картина выставленного выше отношения 
. Именно, Ах становится все меньше и меньше. Соответственно и Δу должно становиться все меньше и меньше. Чтобы конкретно представить себе новые значения аргумента χ в связи с уменьшающимся приращением ∆х, вычислим соответственно новые значения функции, уменьшающиеся приращения функции, а также и отношение мы получим примерно след. табличку.
| Начальное значение X | Новое значение | Приращ. Δy | ННачальное значение У | Новое | Приращ. Δу | |
| X | значение | |||||
| у | ||||||
| 3 | 4 | 1 | 10 | 17 | 1 | 7 |
| 3,9 | 0,9 | 16,21 | 6,21 | 6,9 | ||
| 3,8 | 0,8 | 15,44 | 5,44 | 6,8 | ||
| 3,7 | 0,7 | 14,69 | 4,69 | 6,7 | ||
| 3,6 | 0,6 | 13,90 | 3,90 | 6,5 | ||
| 3,001 | 0,001 | 10,006001 | 0,006001 | 6,001 |