1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
— Ой, — изумляется Фило, — это же треугольник Паскаля! Прекрасно помню, что по наклонным линиям числа там расположены симметрично.
— Умница! — одобряет Мате. — Теперь вам легко понять, что любой коэффициент при возведении бинома в степень есть не что иное, как некое число сочетаний. А сумма всех коэффициентов данной строки равна двум в степени бинома, то есть номера строки.
Некоторое время Фило сидит молча. Ему необходимо переварить эти неожиданные совпадения. До чего все связано! То-то он никак не мог уразуметь, почему Ферма и Паскаль, занимаясь теорией вероятностей, обратились к фигурным числам и формуле сочетаний? А сочетания, оказывается, имеют для теории вероятностей немалое значение.
— Вообще, как я погляжу, — продолжает он уже вслух, — в науке одно постоянно вытекает из другого. Это похоже на разветвленную водную систему, состоящую из тысяч ручейков, речушек и рек…
— …которые в конце концов вливаются в одно большое озеро или море, — развивает его мысль Асмодей. — Нечто подобное как раз произойдет и в науке семнадцатого века. Все ее, иногда разрозненные, а иногда и связанные между собой течения в конце концов объединятся в научном творчестве двух величайших ученых: англичанина Исаа́ка Нью́тона и немца Го́тфрида Ле́йбница.
— Бесспорно, — поддерживает его Мате. — Возьмем механику. Всё, сделанное ранее Коперником, Галилеем и Кеплером в области движения небесных тел, найдет блистательное подтверждение и завершение в законе всемирного тяготения Ньютона.
— А математика, мсье? — перебивает Асмодей. — Весь этот пристальный интерес к неделимым, к наибольшим и наименьшим величинам, над которыми ломали головы и Декарт, и Роберваль, и Ферма, и, разумеется, Паскаль, — разве не приведет он в конце концов к открытию дифференциального и интегрального исчисления, которое почти одновременно и независимо друг от друга совершат Ньютон и Лейбниц?
— Не забудьте про комбинаторику, — суетится Мате, — науку о группировках, к которым как раз относятся сочетания. Комбинаторикой занимались и Ферма, и Паскаль, и Гю́йгенс[45], который, кстати сказать, тоже внес свою лепту в разработку теории вероятностей. Ньютон же, в свою очередь, использовал сочетания в разложении степени бинома.
Фило озабоченно хмурится.
— Бином Ньютона… Как сказал поэт, «все это уж было когда-то, но только не помню, когда». В десятом классе, кажется…
— С вашего разрешения, не далее чем несколько минут назад, — ехидничает Мате. — Потому что рассмотренные нами степени бинома имеют самое прямое отношение к формуле бинома Ньютона. Остается лишь записать ее в общем виде. — Он снова хватается за блокнот. — Однако прежде всего запомните, что число сочетаний принято обозначать латинской буквой С…
— От французского «комбинезо́н» — «сочетание», — поясняет Асмодей.
— При этом справа от С ставятся два индекса, — продолжает Мате, — пониже и повыше. Нижний обозначает число предметов, из которых составляются сочетания. Верхний — число предметов в каждом отдельном сочетании. Например, число сочетаний из пяти по два: C52. А в общем виде число сочетаний из п предметов по k: Cnk. Вот теперь можно и записать формулу бинома Ньютона для О и Р, чтоб уж не отвлекаться от нашей задачи:
— А как же все-таки вычислить вероятность выигрыша при любом числе бросков? — недоумевает Фило.
— Могли бы и не спрашивать. Вы ведь уже знаете, что вероятность события есть отношение числа благоприятных случаев к числу всех возможных. И стало быть,
Мате хочет еще напомнить, что 2n, то бишь сумма всех коэффициентов в разложении степени бинома, это и есть число всех возможных случаев, но вдруг умолкает и начинает прислушиваться: теперь вместо звона монеты и пьяных голосов из караулки вырываются другие, довольно-таки устрашающие звуки.
— По-моему, там храпят, — говорит он опасливым шепотом.
— Да, — соглашается Асмодей. — Похоже, они уже того… готовы.
— Так что же мы сидим! — ахает Фило. — Чего доброго, опоздаем на премьеру.
И, осторожно перешагнув через спящих на полу мушкетеров, компания благополучно достигает противоположной двери караулки, которая выпускает их в парк.
45
Гюйгенс Христиан (1629—1699) — нидерландский физик, математик, астроном, изобретатель маятниковых часов.