Для более же отдаленных спутников притяжение Луны способно сильно усложнить их орбиты.
В таком случае возникает задача не двух, а трех тел: Земли, Луны и спутника. Пусть искусственный спутник расположен где-то между Землей и Луной. Будем считать, что в некоторый начальный момент времени взаимные расстояния трех тел, их массы и начальные скорости известны. Задача состоит в том, чтобы определить, как будут двигаться все три притягивающих друг друга тела, в частности интересующий нас искусственный спутник Земли.
Задача трех тел исключительно сложна и в общем случае, т. е. когда массы тел могут быть любыми, она по существу не получила и доныне своего решения. Правда, в начале текущего века финляндский математик Зундман вывел формулы, выражающие положение всех трех тел через начальные условия. Однако формулы Зундмана настолько громоздки, что никаких практических расчетов по ним производить нельзя.
Только в некоторых частных случаях «задача трех тел» допускает сравнительно простые решения. Одно из них было найдено знаменитым французским математиком Лагранжем в конце XVIII века. «Случай Лагранжа» заключается в следующем.
Допустим, что три тела в некоторый момент времени образуют вершины равностороннего треугольника. Тогда, как доказал Лагранж, и в дальнейшем их взаимное расположение не изменится, как бы сложно не перемещался в своей плоскости возникший равносторонний треугольник.
Любопытно отметить, что «случай Лагранжа» наблюдается в природе. Оказывается, у крупнейшей планеты солнечной системы — Юпитера есть своеобразные «конвоиры» (рис. 4). Это — карликовые планеты (астероиды), обращающиеся вокруг Солнца по орбите Юпитера. Десять из них предшествуют Юпитеру, а пять идут сзади, причем в каждый момент времени Солнце, Юпитер и «троянцы»[3] находятся в вершинах двух равносторонних треугольников.
Точки, вблизи которых находятся «троянцы», в небесной механике, называются «треугольными точками либрации». Помещенное в них тело окажется в состоянии устойчивого равновесия. Что же касается «троянцев», то не совпадая в точности с точками либрации, они описывают вокруг этих точек небольшие, но очень сложные орбиты.
«Случай Лагранжа» должен быть учтен при создании искусственных спутников Земли. Ведь в системе Земля–Луна также есть треугольные точки либрации, и спутники, помещенные в них, постоянно находились бы от Земли и Луны на одинаковых расстояниях.
По исследованиям Лагранжа, кроме треугольных точек либрации, в задаче трех тел есть еще три «прямолинейные» точки либрации. Они расположены на прямой, проходящей в нашем случае через центры Земли и Луны (рис. 5). Для астронавтических целей эти точки, однако, менее интересны, чем предыдущие, так как тело, помещенное в них, оказалось бы в неустойчивом равновесии.
Массы искусственных спутников Земли будут, несомненно, ничтожно малы по сравнению с массами Земли и Луны. Именно поэтому, к вычислению орбит спутников вполне применимы выводы так называемой ограниченной задачи трех тел. Как раз в этом частном случае задачи трех тел считается, что масса третьего тела бесконечно мала в сравнении с массами двух других тел.
Ограниченная задача трех тел исследовалась такими крупнейшими математиками XIX века, как Якоби, Джорж Дарвин и Пуанкаре. Ими были вычислены всевозможные замкнутые «периодические» орбиты, по которым при тех или иных начальных условиях будет двигаться третье тело. Результаты оказались весьма интересными.
На рисунке 6 показаны примеры некоторых «периодических» орбит. Это уже не такие простые кривые, как окружность или эллипс. Многие орбиты имеют весьма сложную и необычную форму, как, например, кривая II.
Исследователи «ограниченной задачи трех тел», конечно, не предполагали, что результаты их теоретических изысканий могут иметь какое-нибудь практическое значение. Однако, как это часто бывало в истории науки, то, что казалось отвлеченным, получает впоследствии практическое применение.
Некоторые из изображенных на рисунке 6 орбит могут быть использованы астронавтами, как, например, орбита I, обеспечивающая регулярное сообщение спутника с Землей и Луной. Как только во вселенной появятся самоуправляемые небесные тела — космические корабли и спутники, созданные человеком, многие вопросы небесной механики приобретут новый, глубоко практический смысл.
3
Описываемым астероидам присвоены имена героев Троянской войны, почему их и называют «троянцами».