SU(3)
Итак, общее мнение состоит в том, что исключительные группы Ли существуют потому, что божество в своей мудрости дозволило существование октонионов. Надо было сразу догадаться. Как заметил Эйнштейн, господь изощрен, но не злонамерен. Все пять исключительных групп Ли являются симметриями различных октонионных геометрий.
Около 1956 года российский геометр Борис Розенфельд, размышляя, быть может, о магическом квадрате, предположил, что три оставшиеся исключительные группы E6, E7 и E8 также являются группами симметрии проективных плоскостей. Однако вместо октонионов здесь надо использовать следующие структуры:
• для E6: биоктонионы, построенные из комплексных чисел и октонионов;
• для E7: кватероктонионы, построенные из кватернионов и октонионов;
• для E8: октооктонионы, построенные из октонионов и октонионов.
Единственная небольшая загвоздка состояла в том, что никто не знал, как внятно определить проективные плоскости над такими комбинациями числовых систем. Тем не менее имеется ряд свидетельств в пользу осмысленности данной идеи. По ситуации на настоящий момент, мы можем доказать гипотезу Розенфельда, но только с использованием групп для построения проективных плоскостей. Это не полностью удовлетворительно, поскольку замысел состоял в том, чтобы продвигаться в другом направлении — от проективных плоскостей к группам. Тем не менее лиха беда начало. На самом деле для групп E6 и E7 уже найдены независимые способы построения проективных плоскостей. Лишь одна E8 пока держит оборону.
Если б не октонионы, то вся история о группах Ли выглядела бы попроще — как первоначально и надеялся Киллинг, — но была бы далеко не столь интересной. Не то чтобы у смертных была возможность выбирать — октонионы и все с ними связанное существуют. И некоторым таинственным образом само существование вселенной может зависеть от них.
Связь между октонионами и жизнью, вселенной и всем на свете возникает из теории струн. Ключевое свойство там — необходимость дополнительных измерений, в которых могли бы помещаться струны. Эти дополнительные измерения могут в принципе принимать огромное число самых разнообразных форм, и серьезная проблема — найти ту самую, правильную форму. В старой квантовой теории ключевым принципом являлась симметрия, и такова же ситуация в теории струн. Так что, без сомнения, группы Ли появляются на сцене в нужный момент. Все держится на этих симметриях по отношению к группам Ли, причем исключительные группы снова занимают особое место — не как типун на языке, но как возможности для реализации неожиданных совпадений, которые обеспечивают физике ее существование.
Что возвращает нас к октонионам.
Приведем пример влияния, которое они оказывают. В 1980-х годах физики заметили, что в пространстве-времени размерностей 3, 4, 6 и 10 выполняются некоторые занятные соотношения. Векторы (направленные отрезки) и спиноры (алгебраические штучки, исходно созданные Полем Дираком в его теории спина электрона) весьма тесно связаны между собой в размерности три, и только в ней. Почему? Оказывается, что соотношение между векторами и спинорами имеет место в точности тогда, когда размерность пространства-времени на 2 превосходит размерность некоторой нормированной алгебры с делением. Вычитая 2 из 3, 4, 6 и 10, получаем как раз 1, 2, 4 и 8.
Математический аспект здесь состоит в том, что в 3-, 4-, 6- и 10-мерных теориях струн[121] каждый спинор можно представить, используя два числа из соответствующей нормированной алгебры с делением. Такого не случается ни в каком другом числе измерений, и отсюда следует набор замечательных следствий для физики. Таким образом, у нас имеются четыре кандидата на теорию струн: вещественные, комплексные, кватернионные и октонионные. И дело складывается таким образом, что, по современным представлениям, из этих возможных теорий струн наибольшие шансы соответствовать реальности имеет 10-мерная теория, отвечающая октонионам. Если эта 10-мерная теория действительно соответствует реальности, то наша вселенная построена из октонионов.