11. Бракосочетание алгебры и геометрии
Начиная со времен древней Греции математика была раздроблена на две основных ветви — геометрию и арифметику. Первая оперировала размерами, вторая — числами. Но между ними никогда не существовало полного разрыва — мы видели, как в разных культурах одна ветвь порой развивалась быстрее и активнее, чем другая, в зависимости от конкретных нужд и обстоятельств. Развитие алгебры и ее взаимоотношений с геометрией можно проиллюстрировать с помощью истории решения кубического уравнения, которое сегодня записывается так: ах3 + bx2 + сх + d = 0.
Слово «аль-джабр» («восстановление») взято из заглавия алгебраического трактата ал-Хорезми «Ал-китаб ал мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-мукабала» («Книга о восполнении и противопоставлении») (см. Главу 7), именно от него происходит название дисциплины «алгебра».
В книге ал-Хорезми отсутствуют формулы — он объяснял решения уравнений риторическим способом. Степеням неизвестных значений он давал названия, такие, как «shay» («вещь») для х, «mal» («богатство») для х2 и «ka'b» («куб») для х3. Названия степеней никто не утвердил навечно, и в своей «Книге аббака», написанной в 1202 году (см. Главу 10), Фибоначчи для обозначения степеней использовал как заимствования из арабского языка, так и некоторые собственные изобретения. Мы ведь, например, называем радикал квадратным корнем, а х3 — кубом. «Книга аббака» — очень важная работа, познакомившая Европу с индо-арабскими цифрами: в ней были описаны девять индийских цифр и «zephirum», или ноль.
В тексте ал-Хорезми, написанном в первой половине IX века, решения квадратных уравнений делятся на шесть типов, ограничивая положительными значениями и числовые коэффициенты, и заключительные решения (см. Главу 7). Последние объясняются геометрическими иллюстрациями, которые, по сути, то же самое, что и вавилонское дополнение квадрата (см. Главу 1). В одиннадцатом веке Гиясаддин Абу-ль-Фатх Омар ибн Ибрахим ал-Хайям Нишапури, более известный как Омар Хайям, открыл метод геометрического решения кубических уравнений: ответы находились на точках пересечения двух конических сечений, — например, решение уравнения х3 + ах = с может быть найдено путем пересечения круга и параболы. Но и в этом случае коэффициенты и решения — только положительные числа. Хайям не нашел общего алгебраического решения кубического уравнения, однако он использовал достаточно сложный метод — применил греческую геометрию в решении алгебраических уравнений. По его словам, «алгебра — это доказанная геометрия». Он надеялся, что простое общее алгебраическое решение кубического уравнения будет найдено его потомками-математиками. К сожалению, «Алгебра» ал-Хайяма была одной из немногих арабских книг, не переведенных на латынь.
Общий алгебраический способ решения кубического уравнения — то есть конечная последовательность алгебраических шагов, ведущих к получению окончательного решения, — был действительно найден, но только в эпоху итальянского Ренессанса, почти 400 лет спустя. Но приблизительные решения были известны и ранее. Например, в 1225 году Фибоначчи издал трактат о решении кубического уравнения, в котором описывал приблизительное решение конкретного случая, но, к сожалению, без описания метода. Рассматривая историю решения кубического уравнения, мы погружаемся в конкурентную борьбу эпохи итальянского Ренессанса. Новые результаты редко издавались, поскольку «придерживание» открытий поднимало репутацию математика в глазах покровителей. Научное общение приняло вид соревнований — математики бросали друг другу вызов, обмениваясь списками вопросов, а победа на таких соревнованиях еще больше укрепляла репутацию ученого и возносила его над другими.
12
О Томасе Хиллесе, или Томасе Хилле (