Вот уравнение для четырех последовательных элементов ряда Фибоначчи:
(А × D)2 + (2 × В × С)2 = (В2 + С2)2
Это равенство легко доказать. Доктор Матрикс не дал ссылки на эту диковинку, однако я связался с редактором «Fibonacci Quarterly» и установил, что ее некогда опубликовал А. Хорадам в «American Mathematical Monthly»[54].
В ходе своего выступления доктор Матрикс продемонстрировал на экране старый парадокс с изменением площади (рис. 1). Перед нами квадрат площадью 64 «квадратные единицы». Если переложить четыре его части так, чтобы те составили прямоугольник, площадь неожиданно вырастет до 65 единиц! А если куски вновь переложить, как показано на рис. 2, общая площадь съежится до 63!
Отметьте, что длины в этом классическом парадоксе — 3, 5, 8 и 13, а это четыре члена ряда Фибоначчи. У этой последовательности есть известное свойство: если возвести в квадрат ее элемент, имеющий номер n, полученная величина будет равна произведению предшествующего и последующего члена ряда ±1 (т. е. членов с номерами n–1 и n+1).
В данном случае сторона квадрата — 8, площадь — 64. В ряду Фибоначчи 8 находится между 5 и 13. Следовательно, 5 и 13 автоматически становятся сторонами прямоугольника, площадь которого должна составлять 65: отсюда выигрыш в одну квадратную единицу.
Благодаря этому свойству нашего ряда мы можем построить квадрат со стороной, длина которой представляет любое число из этого ряда (больше 1), а затем разрезать фигуру в соотношении, определяемом двумя предшествующими членами ряда. Так, выбрав квадрат со стороной 13, можно разделить три из его сторон на сегменты с длинами 5 и 8, а затем провести линии разреза, как показано на рис. 3. Площадь этого квадрата — 169. Из его фрагментов можно сложить прямоугольник с длинами сторон 21 и 8, а площадь этого прямоугольника будет равна 168. Из-за своего рода «перекрывания», происходящего вдоль диагонали прямоугольника, здесь мы теряем, а не приобретаем одну квадратную единицу.
Потеря одной квадратной единицы происходит, если взять квадрат со стороной 5. И это подводит нас к забавному правилу. Каждый второй элемент ряда Фибоначчи, если принять его за длину стороны квадрата, создает «дополнительную площадь» вдоль диагонали прямоугольника и зримую прибавку одной квадратной единицы. Все остальные элементы ряда (если их также брать через один) дают перекрывание частей прямоугольника и потерю одной квадратной единицы. Чем дальше по ряду мы продвигаемся, тем менее заметна площадь такого перекрывания. И соответственно, чем ниже номера членов ряда, тем перекрывание виднее. Можно даже построить своего рода парадокс с квадратом, имеющим сторону всего в две единицы, но в таком случае полученный из него прямоугольник 3 на 1 потребует столь явного перекрывания, что пропадет весь эффект от парадокса.
По всей видимости, первую попытку обобщить этот парадокс квадрата и прямоугольника с помощью упомянутого ряда Фибоначчи предпринял В. Шлегель (см. его статью в «Zeitschrift fur Mathematik und Physik»[55]). Э.Б. Эскотт опубликовал похожий анализ в «Open Court»[56], описав несколько иной метод разрезания квадрата. Льюис Кэрролл интересовался этим парадоксом и оставил ряд незавершенных заметок, где он приводит формулы для расчета других сторон фрагментов[57].
Бесконечное количество других вариантов получим, если положим в основу этого парадокса другие ряды Фибоначчи. Так, квадраты, построенные на основе ряда 2, 4, 6, 10, 16, 26…, дают прибавку или потерю в 4 квадратные единицы. Величину этой прибавки-потери легко можно вычислить: это разность между квадратом любого элемента последовательности и произведением соседних с ним элементов. Ряд 3, 4, 7, 11, 18… дает прибавку или потерю в 5 квадратных единиц. Т. де Молидар[58] в своей «Grande Encyclopedie des Jeux»[59] изображает квадрат, основанный на ряде 1, 4, 5, 9, 14… Длина стороны квадрата равна 9, a при превращении в прямоугольник он теряет и квадратных единиц. Ряд 2, 5, 7, 12, 19… также дает потери и прибавки, равные 11. Однако в обоих случаях перекрывание («добавочная площадь») вдоль диагонали прямоугольника достаточно велико, и его можно заметить. Пусть А, В и С — три последовательных члена какого-нибудь ряда Фибоначчи, а X — потеря или прибавка площади. Тогда получим две следующие формулы:
54
A. Horadam, «Fibonacci Number Triples», in American Mathematical Monthly 68:751–753, 1961.
57
W. Weaver, «Lewis Caroll and a Geometrical Paradox», American Mathematical Monthly 45:234,1938.