Религиозно-философское возведение на пьедестал математики, выделяющее ее среди прочих отраслей знания, принимает у Платона особую форму представления о врожденных идеях, которая отчетливее всего выступает в «Меноне» (81 с sqq.). Согласно этому учению, вся математика представляет собой лишь воспоминание о наивысших истинах, которые душа в ее более совершенном состоянии до рождения созерцала в мире идей. Прокл утверждает, что эта теория пифагорейская и восходит к самому Пифагору.[886] Однако могло ли такое представление в самом деле благоприятствовать развитию математического мышления, остается под вопросом.
Так или иначе, математика оформилась в пифагорейской школе в пользующуюся дедуктивным методом систему знания, не отличающуюся в принципе от той, которая существует и развивается сейчас. Это, конечно, не означает, что взгляды греков на природу математического знания были аналогичны современным. Мы не находим у греков даже следов понимания того, что математика строит свои выводы исходя из более или менее произвольно выбранных систем аксиом. Греческая геометрия строилась на основе аксиом и постулатов, рассматривавшихся как непосредственно очевидные и непреложно истинные. Правила вывода, по-видимому, тоже воспринимались как единственно возможные.
Чрезвычайно интересно было бы, однако, узнать, воспринималась ли на самых первых шагах как абсолютно надежная только еще складывающаяся процедура доказательства. Общие соображения и наблюдения над школьниками, начинающими изучать геометрию, заставляют предполагать, что на первых порах должны были делаться попытки «проверить» правильность доказательства непосредственным измерением.
«Начала» Евклида беспредельно далеки от подобной наивности, но если такая практика действительно имела место, она могла иметь огромное значение в качестве мостика к геометрическим построениям с последующей проверкой в области астрономии, где именно такая процедура была залогом возникновения научных объяснений движения светил.
Именно такой наивный подход к геометрии как к науке, подлежащей проверке опытом, мог помочь объединению в рамках научного метода его третьей и четвертой основных составных частей — дедуктивного вывода из гипотезы проверяемых следствий и самой их проверки (ср. гл. III,§ 1).
§ 2. Греческая математика и формирование приемов логической аргументации
Как известно, сочинения Аристотеля, объединяемые под общим заглавием «Органон», излагают систематически приемы получения из имеющихся истинных положений новых истинных положений, не требующих дополнительной проверки. «Органон» дает настолько законченное исследование приемов логической аргументации, что дальнейшее развитие логики в Европе до второй половины XIX в. касалось частностей или вопросов интерпретации уже сделанного Аристотелем.[887]
Диоген Лаэртский сообщает нам, что Протагор «первый стал пользоваться в спорах доводами» (IX, 51), что должно означать, очевидно, изложение своей аргументации в более отчетливой форме, чем прежде, например, выделяя ее отдельные звенья и т. п. Аристотель утверждает, что Демокрит первый занялся определением понятий (fr. 99 Luria = 68 А 36 DK). Наконец, Зенона Элейского Аристотель считал изобретателем диалектики (fr. 65 Rose = D. L. VIII, 57) — образцом ее могут служить знаменитые апории Зенона, к которым Аристотель обращается неоднократно.
Разумеется, люди умели вполне логично делать выводы с незапамятных времен: в частности, для Греции мы имеем образцы довольно сложного умозаключения уже в гомеровских поэмах. Так, в Od. VIII, 159-165, когда Одиссей было отказался участвовать в состязаниях феаков, один из феаков — Евриал — высказывает предположение о том, что он торговец. Ход мыслей Евриала ясен, и его можно было бы представить в развернутом виде.
Две категории людей путешествуют по морю: воители и торговцы (те и другие занимаются и пиратством, но это здесь не существенно).
Одиссей прибыл по морю, следовательно, он либо воитель, либо купец.
Воители охотно участвуют в атлетических состязаниях, а Одиссей не желает в них участвовать. Следовательно, он не воитель, а купец.
Очевидно, что промежуточным звеном между стихийным умением правильно рассуждать и созданием Аристотелем теории логического вывода должна была явиться практика проведения развернутых рассуждений, построенных в виде цепочек силлогизмов, где уже были прямо высказаны принимаемые посылки, промежуточные этапы и конечный результат рассуждения. Примеры такого рода мы находим в изобилии у Платона и в сохранившихся фрагментах софистов.[888]
886
Возможность этого оспаривают Дж. Вернет (Burnet J. Early Greek philosophy: Thaies to Plato. 4th ed. London, 1945. P. 190) и В. Буркерт (Burkert. Lore and science. P. 213-215); ср.: Kulturgeschichte der Antike. Bd. 1. S. 152-153.
887
Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика сточки зрения современной формальной логики. М., 1959; Субботин А. Л. Традиционная и современная формальная логика. М., 1969.
888
Stenzel J. Studien zur Entwicklung der Platonischen Dialektik von Sokrates zu Aristoteles. 2. Aufl. Leipzig, 1931; Robinson R. Plato's earlier dielectic. 2nd ed. Oxford, 1953.