В действительности доказательства от противного использовались греческими математиками, начиная с первых же шагов геометрии, и мы можем в этом убедиться, анализируя наши сравнительно поздние источники, и прежде всего «Начала» Евклида. Как мы говорили выше, Ван дер Варден недавно показал, что особенности в формулировке теорем 1, 1-12, 22-23 указывают на то, что они восходят к «Началам» Гиппократа Хиосского, а ряд теорем из этих разделов, в том числе теоремы конгруэнтности, доказывались уже в анонимном пифагорейском геометрическом компендии (см. гл. V, § I).[905]
Обратим внимание на теорему, входившую, во всяком случае, в «Начала» Гиппократа Хиосского, которая гласит: «Если в треугольнике два угла равны между собой, то будут равны и стороны, стягивающие равные углы» (1, 6). Перед нами теорема, обратная доказанной Фалесом теореме о равенстве углов в равнобедренном треугольнике. Так как истинность и прямой и обратной теоремы наглядно очевидна, потребность в доказательстве обратной должна была появиться сразу же после доказательства Фалесом прямой теоремы.
Этой ранней потребности отвечает и ранняя возможность такого доказательства. Доказательство, которое приводит Евклид, использует, кроме очевидных аксиом и приемов построения, еще только одну теорему — теорему о равенстве треугольников при условии равенства угла и двух прилежащих к нему сторон. Теоремы такого типа реконструируются Ван дер Варденом уже для раннего пифагорейского компендиума, а относительно другой теоремы о равенстве треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) нам известно, что ее доказал уже Фалес.
Следовательно, теорема I, 6 «Начал» принадлежит к числу тех, для доказательства которых были возможности уже в первом или во втором поколении геометров, и поиски доказательства должны были начаться сразу после доказательства прямой теоремы Фалесом. Между тем эта теорема, принадлежащая к первому этапу формирования геометрии, доказывается у Евклида не прямым способом, а способом от противного.[906]
До нас не дошло других античных доказательств предложения I, 6, да и само требование доказательства этой и других, столь же элементарных теорем прямым путем было бы подлинным ударом по геометрии, потребовав введения в ясном или неявном виде дополнительных аксиом (такая операция была проделана в XVII в. Озанамом). О такого рода кризисе мы бы что-то знали, так что, судя по всему, доказательство, приводимое Евклидом, является достоянием греческой геометрии с момента ее становления[907] и может служить примером доказательств от противного, под влиянием которых Парменид мог решиться на попытку перенести соответствующие приемы на решение философских вопросов.[908]
Сабо не прав, когда пытается доказать, что общие термины, связанные с математическими доказательствами, восходят к философской диалектике. Для терминов αίτημα, αξίωμα, όμολόγημα (постулат, аксиома, соглашение) мы можем с одинаковым успехом предполагать происхождение и из философской беседы, и из преподавания математики, ибо о формировании такого рода терминов в условиях преподавания математики с учетом точки зрения обучающегося прямо свидетельствует Аристотель (An. Post. 76 b 25 sqq.).[909] Что же касается термина θεώρημα (букв. «видимое»), то его значение в математике явно восходит к наглядности геометрического доказательства, пользующегося чертежом, а не к философской диалектике. В результате оказывается более правдоподобным и внутриматематическое развитие в термины слов αίτημα, αξίωμα[910] и όμολόγημα.
Знакомство Парменида с учениями Пифагора и ранних пифагорейцев не может оспариваться, хотя относительно их влияния на основные его идеи существуют разные мнения.[911] Преемственность по отношению к раннему пифагорейству принимается и нашей биографической традицией о Пармениде (D. L. IX, 21). Таким образом, у нас нет оснований считать неправдоподобным влияние на Парменида приемов доказательства, употреблявшихся в раннепифагорейской математике.
От элеатов до Аристотеля магистральная линия совершенствования приемов логической аргументации проходила через софистов, Сократа и Платона. Влияние на Платона современной ему математики общеизвестно, в то время как его влияние на математику проблематично.[912] Мы сейчас приведем данные о связи большинства известных нам софистов с развитием математики их времени и попытаемся показать, что в тех случаях, когда материал дает какую-то возможность судить о направлении влияний, они ведут от математики к софистам.
906
Предложение I. 26 «Начал», которое Евдем приписывает Фалесу (fr. 134 Wehrli), доказывается, как и I. 6, от противного.
907
Цейтен вслед за Ханкелем был готов приписать введение в математику апагогических доказательств непосредственно Пифагору (Zeuthen Η. G. Sur l'origine historique de la connaissance des quantites irrationnelles// Oversigt over det Kgl. Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger. 1915. P. 333-362; см.: Р. 357).
910
Аристотель прямо говорит о τά έν τοις μαθήμασι καλούμενα αξιώματα («так называемых аксиомах в математике» (Met. 1005 а 20), возводя, таким образом, философское понятието αξίωμα к математическому (Jaeger. Paideia. Bd. 3. S. 314). Йегер считает также, что в пользу математического происхождения философского значения слова то αξίωμα говорит и точная нумерация «аксиом» власти и подчинения в «Законах» Платона (690 а-с).
911
См.: Raven J. Ε. Pythagoreans and Eleatics. Cambridge. 1948; Reich K. Parmenides und die Pythagoreer// Hermes. 1954. Bd. 82. S. 287 ff.
912
Brumbaugh R. S. Plato'smathematical imagination. Bloomington. 1954; Solmsen F. Piatos Einfluß auf die Bildung der mathematischen Methode //Q&S. 1929. Bd. l.S. 93 ff. — Математическое происхождение применяемого Платоном приема рассуждения έξ υποθέσεως («исходя из допущения») принимает, в частности, Йегер (Jaeger. Paideia. Bd. 3. S. 155).