До того как числа стали записываться посредством цифр, применялись иные способы перечисления количества. Например, вырезались или выцарапывались зарубки на специальном куске кости (сохранилось множество экземпляров) или складывались в ряд камни (которые после этого разбрасывали), или происходил счет на пальцах. Санскритское слово, обозначающее данное действие — mudra (мудра), является близко родственным слову mudra, означающим символический жест рукой, чье воплощение можно увидеть у статуй богов и в сакральных танцах индусов [3]. Быть может, и у вас есть собственные «танцы» для пальцев, к примеру, привычка ритмично постукивать ими под музыку, тем самым невольно обозначая различные временные отрезки. Не произнося вслух: «Раз, два, три, четыре…» — вы считаете, используя, в данном случае, свое врожденное чувство ритма.
Рис. 4.Есть множество жестов mudra. Вот шесть из них, слева направо:
Дхармачакра («управление законом»), Витарка («доказательство»), Варада («даруемое милосердие»), Тар-джани («угроза»), Джнана («учение») и Абхая («без страха»)
Сложно представить, глядя на наши десять пальцев, систему счета, основанную не на 10. У нас имеются именно десять пальцев — и правда, что еще мы могли бы изобрести? Да, но люди, используя те же самые обычные человеческие руки, додумались и до иных вариантов. Читайте дальше.
В 773 году нашей эры в Багдад прибыла дипломатическая миссия из северной Индии [4]. От Багдада до северной Индии — минимум 1500 миль. Подобные расстояния отнимали у наших далеких предков недели, а то и месяцы жизни, отсюда следует, что индийская делегация совершила невероятно тяжелое путешествие.
В состав этой делегации входил астроном/астролог по имени Канака. Несмотря на то что сейчас астрономия и астрология считаются антиподами, изначально их никто не разделял, причем индийские звездочеты считались особенно искусными в своем деле. Халиф аль-Мансур, арабский правитель, был настолько впечатлен познаниями Канаки в звездной науке, что сделал перевод с индийского на арабский нескольких из привезенных им работ. Эти переводы активно распространялись, копировались и переписывались (разумеется, вручную), изучались, обсуждались и осмыслялись арабскими астрологами, и в итоге, примерно 50 лет спустя, появилась оригинальная работа арабского математика аль-Хорезми. Текст аль-Хорезми под названием Китоб оль джам Валь тафрик би хисаб аль хинд («Книга об индийском счете») касался бывших на тот момент в диковинку индийских цифр, которые так впечатлили халифа аль-Мансура [5]. Аль-Хорезми давал детальное объяснение десятичной системы исчисления, девяти индийским числовым символам и «десятому символу, имеющему форму круга», который использовался «чтобы не путать порядок расположения» цифр [6].
Этим «десятым символом, имеющим форму круга», был Ноль. Вот одна из версий его происхождения. Раньше люди считали при помощи камешек, выкладываемых рядами на песчаной поверхности. Индийский термин для «сложных вычислений» — дули-карма — дословно означает: «работа с песком». Давайте положим камешки рядами, чтобы обозначить количество, а для вычитания уберем некоторые из них. Что останется? Разумеется, какое-то количество камешков, а также слабые отпечатки на песке. Теперь мы можем проверить свои вычисления, обращая внимание на отпечатки, оставленные камушками, которые уже убрали. Каждый такой след будет иметь форму слабо очерченного круга [7].
Но давайте вернемся в древнюю Аравию. Текст аль-Хорезми стал популярным в арабском мире, а затем в результате реконкисты из Испании попал в Европу. Хотя сами тексты, похоже, не распространились по остальной Европе, изложенные в них идеи быстро проникли в другие страны, и к началу XI века индийские цифры, в том числе и ноль, широко использовались на пространстве от границ центральной Азии до северной Африки и Египта. Без сомнения, различные варианты этой числовой информации распространялись не только через индийских астрологов, но и посредством просто прагматических людей, поскольку то, что подходило ученым и астрологам, было также полезно для купцов и счетоводов — для любого, кто использовал числа в практических целях. В конце концов, сокращенный вариант работы аль-Хорезми, называемый просто Арифметика, в 1126 году нашей эры был переведен на латынь, после чего быстро завоевал умы и вызвал жаркие споры повсюду в Европе.
Почему Арифметика произвела такой оглушительный эффект? Потому что она оперировала понятиями, неизвестными Европе: последовательным и простым способом записи цифр от 1 до 9, а также радикальным новшеством для заполнения места — ноль (рис. 5). Явление, которое мы называем «арабскими цифрами» (поскольку они попали в Европу в результате переводов арабских текстов) — на самом деле уходит своими корнями глубоко в историю Индии. Такие индийские астрономы/астрологи, как Канака, стали легендарными личностями, поскольку, кроме всего прочего, обладали превосходными математическими навыками, выработанными благодаря индийской системе счисления. Клинопись и римские числа подходили для письма, а камешки или пальцы хорошо работали для счета, но не слишком годились для математики. Астрологам были необходимы удобные для записи формулы, посредством которых можно было бы отображать сложные вычисления, и потому в своих попытках найти ясные и точные способы выражения чисел древние индийцы оказались на передовом краю астрологии, астрономии и математики.
Не все одобряли новый способ записи. «Количество», по их мнению, не могло быть тождественно «числу». Первое представляет собой нечто зримое, например, овцы или яблоки, тогда как второе, «число», не более чем изогнутая линия, накарябанная на странице. Особенно подозрение вызывали ноли: пририсуйте хвостик к 0 и он станет 6 или 9. Добавь нолей, и это приведет к тому, что 9 превратится в 90, 900, 9000 или во что-нибудь еще похуже. Потому нет ничего удивительного в том, что в XI веке Уильям Малмсбери, монах-историк, посчитал новомодные индийско-арабские цифры и в особенности надоедливый ноль «опасной сарацинской магией» [8].
Рис. 5. Ноль
Рис. 6. Счет до 9 но руке
Вернемся к счету с использованием пальцев. Для справки: вы можете сосчитать до 9 с помощью одной руки, используя пять пальцев и пространство между ними (рис. 6). Нечетные числа приходятся на пальцы, а на пустоты выпадают числа четные — то есть получается 5 нечетных, 4 четных числа — и это отлично работает. Китайцы верили, что четные числа приносят неудачу, а нечетные, наоборот, счастливые. Быть может, это поверье появилось потому, что четные числа приходятся на пустоты между пальцами. Пифагорейцы полагали, что четные числа являются женскими, а нечетные — мужскими, без уничижительного подразумевания удачи или неудачи [9]. Это половое различие могло обосновываться методикой счета чисел на человеческой руке: «мужские» нечетные числа приходятся на нечто выступающее, на пальцы, а «женским» четным — достались расселины между пальцами. Достаточно наглядно и убедительно.
Девятка имеет уникальное математическое свойство. Например, любое число, умноженное на 9, «упрощается» (путем сложения цифр) опять же до 9. Попробуйте проделать это с числами 18, 27, 36, 45 и другими, полученными путем умножения на 9, и в каждом случае вы получите искомую 9. Кроме того, эти числа являются цифровым палиндромом — 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 99 — то есть (за исключением парного числа 99) одинаково читаются как нормальным образом, так и задом наперед.