Известна такая шутка: «Каковы шансы, идя по улице, встретить динозавра? — 50 на 50. Либо встретишь, либо нет». Это воспринимается как очевидная нелепость, но если бы динозавр жил где-то неподалеку от вас и выходил на прогулку примерно в то же время, что и вы, то шанс его встретить и правда мог бы составлять 50 %[131]. Однако поскольку, как мы знаем, динозавры вымерли миллионы лет назад, то шанс встретить одного из них сегодня, естественно, равен нулю. Оба указанных варианта — примеры условных вероятностей, когда вероятность одного события зависит от другого события. Именно с такими вероятностями мы, как правило, имеем дело. И это закономерно: так как мир представляет собой единое целое, то все события в нем некоторым образом взаимосвязаны. Причем взаимосвязь может быть скрытой и опосредованной, но вместе с тем способной порождать «эффект бабочки», выражающийся в том, что незначительные возмущения приводят к значительным отдаленным последствиям[132]. Такую взаимосвязь трудно обнаружить, поэтому нам могут казаться случайными даже те события, которые на самом деле обусловлены цепью предшествовавших событий, не попадающих, однако, — полностью или частично — в поле нашего зрения. С другой стороны, рассматривая все мировые события как единую сеть, мы можем прийти к прямо противоположному выводу о том, что ничего случайного нет, а все строго детерминировано. И в том и в другом случае мы будем одинаково далеки от истины.
Условная вероятность P(A|B) — вероятность наступления события A при условии, что произошло событие B, — определяется по формуле Байеса: P(B|A) × P(A) / P(B), где P(B|A) — вероятность того, что событие B тоже произошло, если произошло событие A. Рассмотрим, как работает эта формула на примере так называемого парадокса Монти Холла.
На первый взгляд, данный парадокс бросает вызов здравому смыслу. Суть его в следующем. Ведущий телеигры Монти Холл предлагает игроку выбрать одну из трех закрытых дверей (за какой-то из них находится приз). После того как игрок делает выбор (допустим, дверь № 1), ведущий открывает одну из невыбранных дверей, за которой приза нет (скажем, дверь № 2), и просит игрока заново обдумать свое решение, с тем чтобы, возможно, его изменить. Вопрос состоит в том, увеличатся ли шансы игрока выиграть приз, если он изменит свой первоначальный выбор? С позиции здравого смысла кажется, что менять решение вовсе не обязательно, поскольку при выборе одной из двух дверей шансы составляют 50 на 50. Однако, как считается, правильным для игрока будет как раз внять совету ведущего и выбрать другую закрытую дверь, не ту, что первоначально (т. е. дверь № 3). Действительно, игрок гарантированно выиграет, изменив свой исходный выбор, при условии, что этот выбор был ошибочным. Вероятность ошибки равна ⅔. Соответственно, вероятность того, что игрок выиграет приз, выбрав другую дверь, тоже равна ⅔. При такой формулировке задачи P(A) = P(B) = ⅔, а P(A|B) = P(B|A) = 1.
Теперь сформулируем нашу задачу по-другому. P(A) — вероятность того, что приз находится за дверью № 3, — составляет ⅓. P(B) — вероятность того, что после выбора ведущего дверь № 3 по-прежнему будет доступна для выбора игрока, то есть останется закрытой, — составляет ⅔ (это вероятность того, что приз окажется либо за дверью № 1, либо за дверью № 3). Поскольку ведущий открывает ту дверь, за которой приза заведомо нет, то вероятность P(B|A) равна 1, или 100 %. Тогда по формуле Байеса выходит, что искомая вероятность P(A|B) равна ½. Но в предыдущей формулировке соответствующая вероятность P(A) равнялась ⅔, почему же возникает такая разница и какой вариант формулировки правильный?
На самом деле правильны оба. Но в первом случае игрок фактически делает только один, исходный выбор, после он с вероятностью 100 % меняет свое решение. Во втором же случае игрок действительно выбирает одну из двух закрытых дверей. Почему-то этот факт обычно игнорируют, и при разборе парадокса Монти Холла делается совершенно неверный вывод — якобы «посрамляющий» здравый смысл — о том, что при втором выборе игрока его возможности выиграть не равновероятны.
Так все же, какую стратегию поведения игроку следует предпочесть? Вроде бы очевидно, что поскольку ⅔ больше ½, то первоначальный выбор непременно нужно изменить. Но в реальности игроку вряд ли представится шанс сыграть хотя бы десяток игр подряд и убедиться, что статистическая вероятность его не обманывает. Как правило, решение нужно принимать в единственной игре. Это означает, что второй выбор, который предлагается сделать игроку, реальный. То есть если игрок изменит свой первоначальный выбор потому, что он считает нужным так поступать всегда, то это ничем не будет отличаться от той ситуации, когда он примет аналогичное решение, руководствуясь сиюминутным настроением, которое в другой момент, возможно, подсказало бы ему противоположное решение. В любом случае вероятность того, что решение окажется правильным, будет равна ½ (почти как в анекдоте про динозавра: либо выиграет, либо нет).
131
А если учесть, что большинство биологов-систематиков к динозаврам причисляют современных птиц, то вероятность встретить подобного динозавра и вовсе может быть близка к 100 %.
132
Само выражение «эффект бабочки», автором которого является американский метеоролог Эдвард Лоренц, означает следующее: взмах крыльев бабочки способен вызвать лавинообразно нарастающие изменения в окружающем мире и в итоге привести к погодному катаклизму в противоположной точке земного шара.