Поскольку время пропорционально расстоянию, то любой промежуток времени, согласно Кеплеру, будет измеряться суммой всех расстояний, содержащихся в секторе соответствующей дуги. Затем рассуждения Кеплера можно представить следующим образом. Пусть окружность разделена на 360 равных частей, так что каждому элементарному углу Δβi (эксцентрической аномалии), равному π/180, соответствует расстояние ri от Земли до Солнца. Тогда время, потраченное планетой на перемещение β от афелия до любой точки G, относится ко времени полуоборота как сумма расстояний, содержащихся в эксцентрическом секторе GAC, к сумме расстояний, содержащихся в половине эллипса, т. е.
(радиус круга принимается за единицу), откуда
Замечательно, что это уравнение допускает следующую интегральную интерпретацию:
где r — расстояние от Земли до Солнца, β — эксцентрическая аномалия (измеренная от афелия), e — эксцентриситет и с — константа, равная
определяемая из условия: при β = π t = π.
Конечно, Кеплер не был в состоянии вычислить получающийся интеграл, но интересно то, что он все-таки связывал величины своих сумм с площадью фигуры, ограниченной конхоидой.
Процедура отыскания t для данной дуги оказалась, как можно видеть из полученного уравнения, весьма трудоемкой, ибо для этого необходимо было подставить в него значения сразу всех расстояний, и поэтому Кеплер стал искать другой путь оценки суммы расстояний. Естественно, что ему пришло в голову оценивать сумму расстояний, содержащихся в секторе эксцентрика, по его площади. Но при этом он отчетливо понимал, что площадь эксцентрического сектора не может быть точной мерой рассматриваемой суммы. В доказательство он приводил следующее рассуждение. Пусть дан сектор BmСА, соединим С с В и рассмотрим треугольник ABC. В нем сумма сторон АВ+АС всегда больше стороны ВС. Но суммы всех линий, аналогичных ВС, будут иметь мерой площадь круга, в то время как сумма всех прямых, аналогичных АВ и АС, представляющая полную сумму расстояний, будет больше первой. Поэтому площади эксцентрических секторов представляют всего лишь приближенную меру суммы расстояний.
Метод оценки суммы расстояний по площади сектора, указывает Кеплер, содержит две неточности: во-первых, предполагается, что орбита планеты есть окружность, во-вторых, что площадь эксцентрического сектора не является точной мерой суммы расстояний от Солнца. Однако он добавляет, что в главе 59 «Новой астрономии», где вводится эллиптическая орбита, эти ошибки уничтожаются «как по волшебству». Ряд комментаторов неправильно интерпретирует это утверждение Кеплера, полагая, что доказательство закона площадей в главе 59 основано на взаимно компенсирующихся ошибках. (Заметим к этому, что Деламбр, проверивший кеплеровские вычисления, обнаружил, что Кеплер действительно допустил ряд ошибок в расчетах, которые, взаимно уничтожившись, дали в конце концов правильный результат.) На самом деле ошибки, о которых говорит Кеплер (и те, о которых говорит Деламбр), не имеют отношения к корректности доказательства.
Смысл этого замечания Кеплера в том, что если принять орбиту за эллипс и выбрать точную меру суммы расстояний, то закон площадей, введенный неявно в главе 40 «Новой астрономии» в качестве приближенного закона, станет вполне точным. Однако к тому времени, когда Кеплер впервые осознал возможность использования площади эксцентрического сектора в качестве меры суммы расстояний, ни то, ни другое еще не было сделано. Он открыто призывал математиков присоединиться к нему в усилиях отыскать точную меру суммы расстояний, а пока принимал, что мера времени t, потребного для перемещения планеты по дуге CG, может быть выбрана как β + e∙sinβ, так как площадь сектора GCA есть ½ ∙ СР + e sin β). Более того, он указывал, что этот «неточный метод решения уравнения на основе физической гипотезы достаточен для орбиты Солнца или Земли».
Действительно, для орбиты Земли, обладающей относительно малым эксцентриситетом, наблюдения довольно прилично сходились с расчетами, но уже для Марса, у которого эксцентриситет в 5,5 раз больше, расхождение данных наблюдения с расчетами истинной аномалии, основанными на законе площадей и гипотезе круговой орбиты, получалось равным 8 минутам. Такое расхождение до Кеплера могло вполне считаться удовлетворительным, так как 10 минут было обычной точностью наблюдений во времена Коперника, но Кеплер не мог этим удовлетвориться. «Благодаря божественной щедрости нам был дарован столь скрупулезнейший наблюдатель в лице Тихо Браге, что его наблюдения доказывают ошибочность этого птолемеевского расчета для Марса с расхождением в 8 минут; нам следует с благодарностью принять этот подарок Господень и пестовать <его>… Теперь, поскольку невозможно не обратить на это внимание, одни эти восемь минут указывают путь к перестройке всей астрономии»[5] {6, III, с. 258}.
5
Формула согласия — одна из символических книг протестантской церкви, представляющая собой компромисс между взглядами Лютера и Меланхтона.