Получив расхождение в 8 минут, Кеплер заметил, что оно не могло возникнуть в результате ошибки в законе площадей: во-первых, оно было слишком большим, а во-вторых, — и это главное — оно было противоположно по знаку тому, которое должно было бы возникнуть из-за неточности в выборе меры суммы расстояний. Поэтому Кеплер пришел к выводу, что окружность не является истинной формой орбиты Марса. Сравнивая положения Марса, рассчитанные на основе гипотезы о круговой эксцентрической орбите, с тремя наблюденными положениями, он нашел, что эти наблюденные положения лежат внутри круга. Так Кеплер пришел к предположению, что орбитой планеты является овал.
Приняв, что орбитой Марса является овал, Кеплер столкнулся с необходимостью вычисления площадей секторов овала, чего он делать не умел. О задаче вычисления площадей секторов овала Кеплер писал Фабрициусу в июле 1603 г.: «Если бы фигура была точным эллипсом, то Архимеда и Аполлония было бы достаточно».
Единственное, что ему оставалось, это вычислять площади приближенно, заменив овал эллипсом. Так он и поступил. Надо отметить, однако, что эллипс, аппроксимирующий овал, не совпадал с истинной эллиптической орбитой, а помещался внутри нее. С другой стороны, Кеплер не был вполне уверен в правомочности такой аппроксимации, так как и без того площадь сектора являлась лишь приближенной мерой суммы расстояний, и в своем исследовании овальной орбиты предпочитал работать непосредственно с расстояниями.
В конце 1604 г. Кеплер пришел к выводу, что его предположение о данной овальной форме орбиты неверно, так как получались слишком большие ошибки в расчетах по сравнению с наблюдениями. Более того, оказалось, что для круга и для овала ошибки в значениях истинной аномалии получались численно равными и противоположными по знаку. Стало ясно, что истина должна находиться где-то посредине этих двух крайностей, а между окружностью и овалом как раз помещался эллипс, соответствующий истинной орбите Марса. Кеплер увидел это, но не придал этому никакого значения. Если бы он просто искал геометрическую кривую, удовлетворяющую данным наблюдений, он, безусловно, поступил бы иначе, и все его поиски закончились бы на этом этапе. Но Кеплер не был удовлетворен, потому что не мог принять гипотезу, не имеющую физического обоснования. А физических причин существования эллиптической орбиты он пока еще привести не мог. Поэтому он продолжал работать с овалом, хотя мысль об эллипсе, по-видимому, подсознательно уже присутствовала в процессе его исследований.
Неотвязная мысль об эллипсе натолкнула его на одно удивительное совпадение. Оказалось, что для β = 90° разность между расстоянием от Солнца, до Марса в модели эксцентрика и радиусом круга в точности равна боковому сжатию орбиты, т. е. разности между радиусом круга и малой полуосью эллипса, лежащего посредине между кругом и овалом. Такое совпадение вряд ли могло быть случайным, и недаром Кеплер «удивлялся, почему и каким образом появился серп такой толщины (0,00429)». Далее он говорит: «В то время как эта мысль не давала мне покоя и я снова и снова думал о том, что… мой кажущийся триумф над Марсом оказался мнимым, вдруг мое внимание привлек секанс угла 5°18′, который является мерой наибольшего оптического уравнения.[6]
Можно было подумать, что, пробудившись ото сна, Кеплер наконец понял, что эллипс является истинной орбитой. Ничуть не бывало! Раз нет физической основы, эта гипотеза все еще кажется ему неприемлемой, и он продолжает строить овалы. Но все же из этого совпадения Кеплер сделал важный вывод: надо работать с секансами и, следовательно, с проекциями расстояния на соответствующий диаметр эксцентрика. Он называет эти проекции диаметральными расстояниями. Легко видеть, что диаметральное расстояние для эксцентрической аномалии β = ∠GBC есть HG и оно равно 1 + е cos β. Кеплер уже показал, что площадь есть точная мера суммы диаметральных расстояний. Действительно, для дуги GC сумма диаметральных расстояний есть
а именно этой величине равняется удвоенная площадь сектора GCA. Кеплер также доказал, что для модели деферента с эпициклом, эквивалентной эксцентрику, изменение диаметрального расстояния представляется либрацией (смещением) точки γ по диаметру эпицикла. Зависимость изменения диаметрального расстояния от эксцентрической аномалии описывается в этом случае формулой е∙(1—cosβ).
6
Оптическим уравнением Кеплер называет угол NEH. Этот угол равняется 5°18′, когда β = 90°. Легко видеть, что при R=1 sec NEH = NE/R = NE, и Кеплер заметил, что EN — R = R — BH.