В представлении Тьюринга «лента» состоит из бесконечной в обоих направлениях линейной последовательности квадратов. Каждый квадрат либо пуст, либо помечен [41]. Использование помеченных и пустых квадратов означает, что мы допускаем разбиение нашего «окружения» (т. е. ленты) на части и возможность его описания множеством дискретных элементов (в противоположность непрерывному описанию). Это представляется вполне разумным, если мы хотим, чтобы наше устройство работало надежно и совершенно определенным образом. В силу используемой математической идеализации мы допускаем (потенциальную) бесконечность «окружения», однако в каждом конкретном случае входные данные, промежуточные вычисления и окончательный результат всегда должны быть конечными. Таким образом, хотя лента и имеет бесконечную длину, на ней должно быть конечное число непустых квадратов. Другими словами, и с той, и с другой стороны от устройства найдутся квадратики, после которых лента будет абсолютно пустой. Мы обозначим пустые квадраты символом «0», а помеченные — символом «1», например:
Нам нужно, чтобы устройство «считывало» информацию с ленты. Мы будем считать, что оно считывает по одному квадрату за раз и смещается после этого ровно на один квадрат влево или вправо. При этом мы не утрачиваем общности рассуждений: устройство, которое читает за один раз n квадратов или перемещается на k квадратов, легко моделируется устройством, указанным выше. Передвижение на k квадратов можно построить из к перемещений по одному квадрату, а считывание n квадратов за один прием сводится к запоминанию результатов n однократных считываний.
Что именно может делать такое устройство? Каким образом в самом общем случае могло бы функционировать устройство, названное нами «механическим»? Вспомним, что число внутренних состояний нашего устройства должно быть конечным. Все, что нам надо иметь в виду помимо этого — это то, что поведение нашего устройства полностью определяется его внутренним состоянием и входными данными. Входные данные мы упростили до двух символов — «0» и «1». При заданном начальном состоянии и таких входных данных устройство должно работать совершенно определенным образом: оно переходит в новое состояние (или остается в прежнем), заменяет считанный символ 0 или 1 тем же или другим символом 1 или 0 , передвигается на один квадрат вправо или влево, и наконец, оно решает, продолжить вычисления или же закончить их и остановиться.
Чтобы явно определить операции, производимые нашим устройством, для начала пронумеруем его внутренние состояния, например: 0,1,2,3,4,5. Тогда действия нашего устройства, или машины Тьюринга, полностью определялись бы неким явным списком замен, например:
0 0 → 0 0R
0 1 → 13 1L
1 0 → 65 1R
1 1 → 1 0R
2 0 → 0 1R.STOP
2 1 → 66 1L
3 0 → 37 0R
• •
• •
• •
210 0 → 3 1L
• •
• •
• •
2581 → 0 0R. STOP
2590 → 97 1R
2591 → 0 0R. STOP
Выделенная цифра слева от стрелки — это символ на ленте, который устройство в данный момент считывает. Оно заменяет этот символ выделенной цифрой в середине справа от стрелки. R означает, что устройство должно переместиться вдоль ленты на один квадрат вправо, a L соответствует такому же перемещению влево. (Если, в соответствии с исходным представлением Тьюринга, мы полагаем, что движется не устройство, а лента, то R означает перемещение ленты на один квадрат влево, a L— вправо.) Слово STOP означает, что вычисления завершены и устройство должно остановиться. Например, вторая инструкция 0 1 → 13 1L говорит о том, что если устройство находится в начальном состоянии 0 и считывает с ленты 1, то оно должно перейти в состояние 13, оставить на ленте тот же символ 1 и переместиться по ленте на один квадрат влево. Последняя же инструкция 259 1 → 0 0R.STOP говорит о том, что если устройство находится в состоянии 259 и считывает с ленты 1, то оно должно вернуться в состояние 0, стереть с ленты 1, т. е. записать в текущий квадрат 0, переместиться по ленте на один квадрат вправо и прекратить вычисления.
41
На самом деле Тьюринг использовал более сложные записи на ленте, но это не имеет принципиального значения, поскольку такие записи всегда могут быть представлены в виде последовательностей меток (одного типа) и пробелов. Я и далее, когда это допустимо, буду довольно свободно обращаться с исходными определениями Тьюринга.