Большего прогресса пифагорейцы достигли, скорее, в чистой математике, чем в физике. Все знают теорему Пифагора о том, что площадь квадрата, одной из сторон которого является гипотенуза прямоугольного треугольника, равна сумме площадей двух квадратов, стороны которых являются катетами этого треугольника. Но неизвестно, кто именно из пифагорейцев доказал эту теорему и как он это сделал. Ее можно очень просто доказать, основываясь на теории соотношений, которая принадлежит пифагорейцу Архиту Тарентскому, современнику Платона (см. техническое замечание 4). В теореме 46 Первой книги «Начал» Евклида приводится более сложное доказательство. Кстати, Архит решил знаменитую задачу, которая до него оставалась нерешенной: как, имея куб и используя чисто геометрические методы, построить куб, в два раза больший по объему.
Теорема Пифагора ведет к другому великому открытию о том, что геометрические построения могут привести к соотношениям, которые не могут быть выражены частным от деления целых чисел. Если каждый катет прямоугольного треугольника имеет длину, равную единице (неважно, в каких единицах измерения), то сумма площадей двух квадратов, сторонами которого являются эти катеты, составляет 1² + 1² = 2. Тогда в соответствии с теоремой Пифагора длина гипотенузы должна выражаться числом, квадрат которого равен 2, но легко увидеть, что число, квадрат которого равен 2, не может быть выражено как соотношение целых чисел (см. техническое замечание 5). Доказательство этого дается в Десятой книге «Начал» Евклида. Ранее о нем говорит Аристотель в «Первой аналитике»{22} в качестве примера reductio ad impossibile[3], не давая ссылку на оригинальный источник. Существует легенда о том, что это открытие принадлежит пифагорейцу Гиппасу, который, возможно, родился в городе Метапонте на юге Италии и был изгнан или убит пифагорейцами за разглашение этого открытия.
Сегодня мы можем описать это открытие следующим образом: такие числа, как квадратный корень из двух, являются иррациональными – они не могут быть выражены как отношение целых чисел. Согласно Платону{23}, Феодор Киренский показал, что квадратные корни из 3, 5, 6,…, 15, 17 и т. д. (и вдобавок, хотя Платон этого и не говорит, квадратные корни из всех целых чисел, кроме 1, 4, 9, 16 и т. д., которые являются квадратами целых чисел) иррациональны в том же смысле. Но древние греки не выражали эту мысль таким образом. Скорее, судя по переводу Платона, они говорили о сторонах квадратов, площадь которых равна 2, 3, 5 и т. д., несоизмеримых единице. У древних греков не было понятия о каких-либо числах, кроме рациональных, поэтому для них такое число, как квадратный корень из двух, могло быть представлено только геометрически, что затрудняло развитие арифметики.
Традиция чистой математики была продолжена в Академии Платона. Говорили, что у ее дверей висело предупреждение, запрещающее вход любому, кто невежествен в геометрии. Сам Платон математиком не был, но с восторгом относился к математикам, отчасти, вероятно, потому, что во время своего путешествия в Сиракузы, чтобы стать наставником молодого Дионисия II Младшего, встречался с пифагорейцем Архитом Тарентским.