• Анализ — наука о пределах. Пример теоремы: гармонический ряд расходится (т.е. неограниченно возрастает).
Кроме этого, в современной математике есть, конечно, много всего другого. Например, в ней есть теория множеств, созданная Георгом Кантором в 1874 году а есть «основания» — раздел, который в 1854 году усилиями англичанина Джорджа Буля отделился от классической логики и в котором исследуются логические основы всех математических концепций. Сами традиционные категории также разрослись и стали включать в себя целые новые темы — геометрия вобрала в себя топологию, алгебра — теорию игр и т.д. Еще до начала XIX века происходило значительное просачивание из одной области в другую. Например, тригонометрия (само слово было впервые употреблено в 1595 году) содержит в себе элементы и геометрии, и алгебры. В XVII веке Декарт арифметизировал и алгебраизировал значительную часть геометрии (правда, чисто геометрические доказательства в стиле Эвклида сохранили свою популярность до наших дней за их ясность, изящество и остроумие).
Как бы то ни было, четырехчленное деление сохраняет свою роль в качестве первоначальной ориентировки в математике. Эта классификация полезна и для понимания одного из величайших завоеваний математики XIX столетия, о котором мы далее будем говорить как о «великом соединении» — привязывании арифметики к анализу, что привело к созданию совершенно новой области исследований — аналитической теории чисел. Позвольте познакомить вас с человеком, который одной только публикацией статьи объемом в восемь с половиной страниц дал жизнь аналитической теории чисел, успешно развивающейся и поныне.
Глава 2. Почва и всходы
О Бернхарде Римане известно немного. Он не оставил никаких документов, позволяющих судить о его внутренней жизни, — за исключением того, что можно почерпнуть из его писем. Его современник и друг Рихард Дедекинд оказался единственным близким к Риману человеком, оставившим подробные воспоминания. Но и они занимают всего 17 страниц и проясняют не так много. Я не могу поэтому даже пытаться охватить в дальнейшем изложении всю личность Римана, но все-таки надеюсь, что читатель вынесет из этого рассказа нечто большее, чем просто имя. В данной главе описание научной деятельности Римана и всего, что с ней связано, сведено к минимуму; об этом мы поговорим более подробно в главе 8.
Сначала опишем время и место жизни нашего героя.
Решив, что Французская революция дезорганизовала нацию и сделала французов в силу пробудившихся в них республиканских и антимонархических идей недееспособными, враги Франции попытались извлечь пользу из сложившейся ситуации. В 1792 году огромные силы, в основном состоящие из австрийских и прусских войск, но включавшие и отряд из 15 тысяч французских эмигрантов, двинулись на Париж. К их удивлению, армия революционной Франции оказала сопротивление, навязав наступавшим артиллерийскую дуэль в густом тумане у деревни Вальми 20 сентября того года. Эдвард Кризи в своем классическом труде «Пятнадцать решающих битв в мировой истории» называет это битвой при Вальми.[5] Немцы называют ее канонадой при Вальми. Под тем или иным именем это событие часто берут за отметку, знаменующую начало серии войн, захлестнувших Европу в последующие 23 года. Эти войны известны как Наполеоновские, хотя есть своя логика в том, чтобы называть их (если бы такое название еще оставалось вакантным) Первой мировой войной, поскольку они в том числе включали столкновения в обеих Америках и на Дальнем Востоке. Когда все в конце концов завершилось мирным договором, выработанным на Венском конгрессе (8 июня 1815 года), Европа перешла в другой долгий (почти в столетие) период — период относительного мира.
Северо-западная Германия после 1815 года. Государство Ганновер состоит из двух частей: ему принадлежат и город Ганновер, и Геттинген. Пруссия состоит из двух больших частей и нескольких более мелких; и Берлин, и Кельн — прусские города. Герцогство Брауншвейгское состоит из трех частей.
Одним из последствий договора явилось некоторое упорядочение ситуации с германскими народами в Европе. До Французской революции говорящий по-немецки европеец мог оказаться подданным или габсбургской Австрии (в этом случае он почти наверняка был бы католиком), или королевства Пруссия (где он с большей вероятностью был бы протестантом) либо жителем одного из трехсот с чем-то мелких княжеств, раскиданных по карте того, что мы сейчас называем Германией. Мог он оказаться и подданным короля Франции или короля Дании либо гражданином Швейцарской конфедерации. («Упорядочение» надо понимать относительно — после него осталась достаточная доля беспорядка, чтобы периодически вызывать войны меньшего масштаба и внести свою лепту в создании предпосылок великих конфликтов XX века.) Австрия сохранила свою империю (включавшую огромное число ненемцев: венгров, славян, румын, чехов и т.д.); в Швейцарии, Дании и Франции при этом оставались те, кто говорил по-немецки. Но все же сделанное было неплохо — для начала. Триста с чем-то административно-государственных единиц, составлявших Германию XVIII столетия, консолидировались в 34 суверенных государства и 4 вольных города, и признанием их культурного единства послужило создание Германского союза.
5
Силы французской армии «Север» под командованием Франсуа Дюмурье и французской армии «Центр» под командованием Франсуа-Кристофа Келлермана остановили продвижение армии под командованием герцога Брауншвейгского Карла Вильгельма Фердинанда. Артиллерийское сражение оказалось тактически безрезультатным, но стратегически важным как доказательство жизнеспособности Французской революции. Книга «Пятнадцать решающих битв в мировой истории» вышла в 1851 г.