Из выражения (15.5) видно, что поведение функций μ и M (накапливающейся μ) жестко привязано к дзета-функции, а тем самым и к Гипотезе Римана. На самом деле если вам удастся доказать приведенную ниже теорему 15.1, то вы сможете заключить, что Гипотеза Римана верна!
Теорема 15.1
M(k) = Ο(k1/2).
Однако если теорема 15.1 не верна, то отсюда еще не следует, что не верна Гипотеза. Математики говорят, что теорема 15.1 сильнее Гипотезы.[139] Слегка ослабленный вариант, сформулированный как теорема 15.2, в точности равносилен Гипотезе:
Теорема 15.2
M(k) = Ο(k1/2+ε) для любого сколь угодно малого числа ε.
Если теорема 15.2 верна, то верна и Гипотеза; а если она не верна, то не верна и Гипотеза. Это в точности эквивалентные теоремы. Мы еще вернемся к этому в главе 20.vi.
Глава 16. Вверх по критической прямой
I.
В 1930 году Давиду Гильберту исполнилось 68 лет. В соответствии с принятыми в Геттингенском университете правилами он вышел на пенсию. Посыпались почести. Среди них — решение властей Кенигсберга предоставить прославленному сыну этого города почетное гражданство. Церемония должна была состояться на открытии запланированного на осень того года съезда Общества немецких ученых и врачей. Понятно, что случай обязывал к ответному слову. Таким образом, 8 сентября 1930 года в Кенигсберге Гильберт выступил со своей второй великой публичной речью.
Его выступление было озаглавлено «Логика и познание природы». Цель Гильберта состояла в том, чтобы высказать некоторые положения о связи между нашим внутренним миром — нашими умственными процессами, включая и те, с помощью которых мы создаем и доказываем математические истины, — и физической вселенной. Подобные идеи, разумеется, имеют долгую философскую родословную, особую роль в которой сыграл другой великий сын Кенигсберга — живший в XVIII веке философ Иммануил Кант. По существу, как мы увидим в главе 20, Гильберт высказал идеи, имеющие отношение к современному пониманию Гипотезы Римана. Впрочем, во время выступления Гильберта в Кенигсберге никто этого, конечно, не знал.
Было предусмотрено, что после окончания выступления Гильберт повторит его сокращенный вариант по местному радио — в те времена, понятно, бывшему новинкой. Этот сокращенный вариант речи Гильберта был записан и издан на граммофонной пластинке (78 оборотов в минуту). (В Веймарской Германии, похоже, слова «математик-знаменитость» не содержали в себе внутреннего противоречия). В наши дни эту запись можно найти в Интернете. Сделав лишь небольшое усилие, вы услышите, как голос самого Гильберта произносит шесть слов, за которые его более всего помнят и которые выгравированы на его надгробии на Геттингенском кладбище. Это последние слова кенигсбергской речи.
Гильберт твердо верил в неограниченную мощь человеческого разума в постижении истин и природы, и математики. Во времена его юности определенной популярностью пользовались пессимистические теории французского философа Эмиля Дюбуа-Реймона. Дюбуа-Реймон утверждал, что определенные вещи — например, природа материи и человеческого сознания — в принципе непознаваемы.[140] Ему принадлежит тезис ignoramus et ignorabimus — «мы не знаем и не узнаем». Гильберту никогда не импонировала эта мрачная философия. И теперь, когда весь мир (во всяком случае, вся его научно-математическая часть) внимал его словам, он ясно заявил о своем несогласии:
Тот, кто способен почувствовать истинность возвышенного склада мышления и взгляда на мир… не поверит тем, кто ныне с философской миной на лице глубокомысленным тоном пророчествует о закате культуры и самодовольно принимает принцип ignorabimus. Для математика не существует ignorabimus, как, по моему мнению его не существует и для естествоиспытателя. Вместо непознаваемого, о котором твердят глупцы, наш лозунг гласит прямо противоположное: «Мы должны знать. Мы будем знать!»
Шесть последних слов — по-немецки Wir müssen wissen. Wir werden wissen — самые знаменитые из всего, произнесенного Гильбертом, и являются одними из самых известных во всей истории науки. Они выражают твердый оптимизм, тем более знаменательный, что он звучит из уст человека, который был далеко не молод и, более того, не мог похвастаться здоровьем. (Гильберт в течение нескольких лет страдал от злокачественной анемии — заболевания, которое в 1920-х годах только-только начало поддаваться лечению.) Эти слова составляют жизнеутверждающий контраст по сравнению с довольно мрачным солипсизмом, выраженным Харди в «Апологии», написанной десять лет спустя, когда Харди было 63 года — на пять лет меньше, чем Гильберту во время его кенигсбергской речи.
Если подразумеваемая здесь логика от вас ускользает, давайте рассмотрим аналогию. Представим себе, что теорема 15.1 утверждает: «Все люди имеют рост менее 10 футов», а Гипотеза Римана утверждает, что «все граждане США имеют рост менее 10 футов». Если первое утверждение верно, то должно быть верно и второе, поскольку каждый гражданин США — человек. Более слабый результат следует из более сильного. Если человека ростом в 11 футов обнаружат в дебрях Новой Гвинеи, то его существование продемонстрирует ложность теоремы 15.1. Однако Гипотеза Римана будет по-прежнему оставаться открытой, поскольку найденный гигант не является гражданином США. (Хотя, как я подозреваю, довольно быстро им станет.)
Утверждение тем более примечательное, что Дюбуа-Реймон (не столько француз, сколько немец швейцарского происхождения) был также признанным физиологом, установившим ряд закономерностей, характеризующих электрические явления в мышцах и нервах. (Примеч. перев.)