Рисунок 17.1. Сложение и умножение на циферблате с четырьмя отметками (другими словами, сложение и умножение выполняются по обычным правилам, после чего берутся остатки по модулю 4).
Конкретное кольцо, показанное на рисунке 17.1, имеет официальное обозначение Z/4Z. Должен сознаться, что мне такое обозначение никогда не нравилось, так что на правах автора я изобрету для него свое собственное обозначение: CLOCK4.[158]{4} Ясно, что можно построить такое кольцо для любого натурального числа N. В моих обозначениях оно будет называться CLOCKN.
Но поле FN можно построить не для любого числа N, а только для простых чисел и их степеней. Для простого числа p самого по себе поле Fp выглядит в точности как CLOCKp — та же таблица сложения, та же таблица умножения. Однако для степени простого числа ситуация усложняется. На рисунке 17.2 показаны сложение и умножение (откуда, конечно, извлекаются вычитание и деление) в поле F4. Видно, что F4 отличается от CLOCK4.
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | × | 0 | 1 | 2 | 3 | |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 0 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |
| 2 | 2 | 3 | 0 | 1 | 2 | 0 | 2 | 3 | 1 | |
| 3 | 3 | 2 | 1 | 0 | 3 | 0 | 3 | 1 | 2 |
Рисунок 17.2. Сложение и умножение в конечном поле F4.